第
20
讲 数列的综合应用
第20讲 数列的综合应用
1.在公比为
q
且各项均为正数的等比数列{
a
n
}中,
S
n
为{
a
n
}的前
n
项和.若
a
1
=
,
则
S
5
=
S
2
+2,且
q
的值为
.
答案
解析
由
a
n
>0及
a
1
=
,则
S
5
-
S
2
=
a
3
+
a
4
+
a
5
=
a
1
q
2
+
a
1
q
3
+
a
1
q
4
=1+
q
+
q
2
=2,解得
q
=
(舍负).
2.设等比数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,若
S
3
,
S
9
,
S
6
成等差数列,且
a
2
+
a
5
=4,则
a
8
的值为
.
答案
2
解析
由
S
3
,
S
9
,
S
6
成等差数列得
S
3
+
S
6
=2
S
9
,则公比
q
≠
1,
q
3
+
q
6
=2
q
9
,2
q
6
-
q
3
-1=0,则
q
3
=-
.又
a
2
+
a
5
=
a
2
(1+
q
3
)=
a
2
=4,则
a
2
=8,所以
a
8
=
a
2
q
6
=8
×
=2.
3.设等差数列{
a
n
}的前项
n
和为
S
n
,若
a
5
=3,
S
10
=40,则
nS
n
的最小值为
.
答案
-32
解析
设等差数列{
a
n
}的公差为
d
(
d
≠
0),则
a
5
=
a
1
+4
d
=3,
S
10
=10
a
1
+
d
=40,解
得
a
1
=-5,
d
=2,则
nS
n
=
n
(
n
2
-6
n
)=
n
3
-6
n
2
.令
f
(
x
)=
x
3
-6
x
2
,
x
>0,则
f
'(
x
)=3
x
2
-12
x
=3
x
(
x
-
4),
x
>0,当
x
∈(0,4)时,
f
'(
x
)0,
所以
f
(
x
)在(1,+
∞
)上单调递增,有
f
(
x
)>
f
(1)=0,可得ln
x
>1-
.当
k
≥
2,且
k
∈N
*
时,
>1,有ln
>1-
=
,所以
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