4．4 整式
知识点一 单项式的相关概念
由__________________________组成的代数式叫做单项式．
单独一个数或一个字母也叫单项式．
单项式中的__________叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有______________叫做这个单项式的次数．
1．指出下列单项式的系数与次数．
－5a2b，2x3y2，0.5ab2c3，－a2，ab，xyz，－a，－xy，πr2，.
知识点二 多项式的相关概念
由几个单项式______组成的代数式叫做多项式．
多项式是几个单项式的和式(即含加减运算)．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，它的项包括符号，不含字母的项叫做常数项，__________________就是这个多项式的次数．
2．指出下面的多项式由哪几项组成，次数是多少以及次数最高的项是哪一项．
9x2y－7xy2＋x2－y－5.
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类型一 整式的分类及相关概念
例1 教材补充例题(1)指出下列各式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式．
5a2b，－，，b2－4ac，，－1，－2xy，，πr2，.
(2)(1)中的多项式分别是几次多项式，分别由哪些项组成？
【归纳总结】 单项式、多项式及整式的特点：
(1)单项式和多项式统称为整式，多项式是几个单项式的和；
(2)单项式不含有加减运算，多项式必含有加减运算；
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(3)分母中、根号内含有字母的一般不是整式．
类型二 整式的应用
例2 教材例题针对训练 如图4－4－1是一个长20 m、宽10 m的长方形草坪，在草坪中修两条等宽的长方形小路，设小路的宽为xm.
(1)用含有x的式子表示两条小路的面积和；
(2)写出(1)中多项式的项和次数．
图4－4－1
, 小结 ◆◆◆)
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, 反思 ◆◆◆)
已知－5xmy3＋104xm－4xy2是关于x，y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．
下面是一名同学给出的解法：
解：由原多项式可知最高次项为104xm，(1)
所以4＋m＝6，(2)
解得m＝2，(3)
所以原多项式为－5x2y3＋104x2－4xy2.
阅读以上过程并讨论：该同学的解法对吗？如果不对，错在哪一步？应怎样解？
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详解详析
【学知识】
知识点一 数与字母或字母与字母相乘 数字因数 字母的指数的和
1．解：－5a2b的系数是－5，次数是3；2x3y2的系数是2，次数是5；0.5ab2c3的系数是0.5，次数是6；－a2的系数是－，次数是2；ab的系数是1，次数是2；xyz的系数是1，次数是3；－a的系数是－1，次数是1；－xy的系数是－1，次数是2；πr2的系数是π，次数是2；的系数是，次数是5.
知识点二 相加 次数最高的项的次数
2．[解析] 多项式的次数是指次数最高项的次数．
解：9x2y－7xy2＋x2－y－5的项分别是9x2y，－7xy2，x2，－y，－5，次数是3，次数最高的项是9x2y和－7xy2.
【筑方法】
例1 解：(1)单项式：5a2b，－，－1，－2xy，πr 2；
多项式：b2－4ac，；
整式：5a2b，－，b2－4ac，－1，－2xy，，πr2.
(2)多项式b2－4ac是二次多项式，由b2，－4ac两项组成；多项式是一次多项式，由，两项组成．
例2 解：(1)两条小路的面积和为(20x＋10x－x2)m2.
(2)多项式20x＋10x－x2中的项为20x，10x，－x2，次数为2.
[点评] 本题考查列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键性描述语，进而求解．
【勤反思】
[小结] 数字 指数的和 相加 每个单项式 最高
[反思] 该同学的解法不对，错在第(1)步．
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正确解法如下：由题意可知，原多项式的最高次项是－5xmy3，
所以m＋3＝6，解得m＝3，所以原多项式为－5x3y3＋104x3－4xy2.
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