第1节 曲线运动
1．做曲线运动的物体在某点的速度方向沿曲线在该
点的切线方向。
2．曲线运动的速度方向在不断变化，因此曲线运动
一定是变速运动。
3．当物体所受合力方向与速度方向不共线时，物体
做曲线运动。
4．做曲线运动的物体所受合力的方向指向曲线弯曲的
内侧。
5．研究曲线运动的基本方法：运动的合成与分解。
一、 曲线运动的位移
1．建立坐标系：研究物体在平面内做曲线运动时，需要建立平面直角坐标系。
2．位移的分解：如图所示，物体从O点运动到A点，位移大小为l，与x轴夹角为α，则在x方向的分位移为xA＝lcos α，在y方向的分位移为yA＝lsin_α。
二、曲线运动的速度
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2．运动的性质：做曲线运动的质点的速度方向时刻发生变化，即速度时刻发生变化，因此曲线运动一定是变速运动。
3．速度的描述
(1)用两个互相垂直的方向的分矢量表示速度，这两个分矢量叫做分速度。
(2)速度的分解：如图所示，物体沿曲线运动到A点，速度大小为v，与x轴夹角为θ，则在x方向的分速度为vx＝vcos_θ，在y方向的分速度为vy＝vsin θ。
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三、 运动描述的实例
1．蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx。从蜡块开始运动的时刻计时，在时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示x＝vxt，y＝vyt。
2．蜡块的速度：v＝，方向满足tan θ＝。
3．蜡块的运动轨迹：y＝x，是一条过原点的直线。
四、物体做曲线运动的条件
1．动力学角度：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
2．运动学角度：当物体的加速度方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
1．自主思考——判一判
(1)曲线运动的速度方向可能不变。(×)
(2)曲线运动的速度大小和方向一定同时改变。(×)
(3)曲线运动一定是变速运动。(√)
(4)物体做曲线运动时，合力一定是变力。(×)
(5)物体做曲线运动时，合力一定不为零。(√)
(6)物体做曲线运动时，加速度一定不为零。(√)
2.合作探究——议一议
(1)花样滑冰以美妙绝伦的舞姿深受人们喜爱，某花样滑冰运动员正在冰面上进行精彩表演，为了描述她的位置及位置变化，应建立何种坐标系？
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提示：花样滑冰运动员在冰面上做曲线运动，应建立平面直角坐标系。
(2)广场上，喷泉射出的水柱在空中划出一道道美丽的弧线，令人赏心悦目。那么，斜射出水流的速度大小和方向是如何变化的呢？
提示：水流速度的大小先减小后增大，方向先斜向上然后逐渐变为斜向下。
曲线运动的性质
1．曲线运动的位置和位移描述：无法用直线坐标系描述曲线运动的位置和位移，而是采用平面直角坐标系。一般先确定x轴、y轴上的坐标变化，再利用矢量合成的方法求出总的位移。
2．曲线运动的速度：曲线运动的速度方向与该时刻运动轨迹曲线上相应点的切线方向相同，速度的方向时刻在发生变化。
3．曲线运动的性质：由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因其矢量性，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动。
4．运动的五种类型：
轨迹特点
加速度特点
运动性质
直线
加速度为零
匀速直线运动
加速度不变
匀变速直线运动
加速度变化
非匀变速直线运动
曲线
加速度不变
匀变速曲线运动
加速度变化
非匀变速曲线运动
1.如图516所示的曲线为某同学抛出的铅球的运动轨迹(铅球视为质点)，A、B、C
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为曲线上的三点，关于铅球在B点的速度方向，说法正确的是( )
图516
A．为AB的方向 B．为BD的方向
C．为BC的方向 D．为BE的方向
解析：选B 物体做曲线运动的速度方向为运动轨迹上经过该点的切线方向，如题图中铅球实际沿ABC方向运动，故它在B点的速度方向应为切线BD的方向，B正确。
2．做曲线运动的物体，在运动的过程中一定变化的物理量是( )
A．速率 B．速度
C．加速度 D．加速度的大小
解析：选B 既然是曲线运动，它的速度的方向必定是改变的，而速率可以不变；加速度可以是不变的，加速度不变，加速度的大小也不变，所以曲线运动一定是变速运动，速度一定是改变的。故A、C、D错误，B正确。
3．关于运动的性质，以下说法中正确的是( )
A．曲线运动一定是变速运动
B．变速运动一定是曲线运动
C．曲线运动一定是变加速运动
D．加速度不变的运动一定是直线运动
解析：选A 做曲线运动的物体速度方向时刻变化，所以曲线运动一定是变速运动，A正确。变速运动可能是速度的方向在变化，也可能是速度的大小在变化，所以不一定是曲线运动，B错误。曲线运动可能是变加速曲线运动，也可能是匀变速曲线运动，C错误。加速度不变的运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动，D错误。
对曲线运动条件的理解
1．物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合力与速度方向不共线是物体做曲线运动的充要条件，这包含三个层次的内容。
①初速度不为零；
②合力不为零；
③合力与速度方向不共线。
(2)运动学条件：加速度与速度方向不共线。
2．物体的运动与合力的关系
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(1)合外力方向与物体的速度方向在同一条直线上时，物体做加速直线运动或减速直线运动。
(2)合外力方向与物体的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动。
3．两个重要推论
(1)合外力方向与速度方向夹角为锐角时，物体做曲线运动，速率越来越大；合外力方向与速度方向夹角为直角时，物体做曲线运动，速率不变；合外力方向与速度方向夹角为钝角时，物体做曲线运动，速率越来越小。
(2)物体的运动轨迹与合外力有关，物体运动时其轨迹总偏向合外力所指的一侧，或者说合外力总指向运动轨迹的凹侧。
[典例] 如图所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点时的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是( )
A．D点的速率比C点的速率大
B．A点的加速度与速度的夹角小于90°
C．A点的加速度比D点的加速度大
D．从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小
[解析] 质点做匀变速曲线运动，合力的大小方向均不变，加速度不变，故C错误；由B点速度与加速度相互垂直可知，合力方向与B点切线垂直且向下，故质点由C到D过程，合力方向与速度方向夹角小于90°，速率增大，A正确；A点的加速度方向与过A的切线，即速度方向夹角大于90°，B错误；从A到D加速度与速度的夹角一直变小，D错误。
[答案] A
力和运动轨迹关系的两点提醒
(1)物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切。
(2)物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。
1．如图所示的质点运动轨迹中，可能的是( )
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解析：选D 物体做直线运动，所以受力的方向与速度的方向一定在同一条直线上，故A错误；物体所受合力的方向与速度的方向在同一条直线上，则物体做直线运动，故B错误；若物体做曲线运动合外力方向应指向曲线弯曲的方向，故C错误，D正确。
2.小钢球以初速度v0在光滑水平面上运动，受到磁铁的侧向作用而沿如图所示的曲线运动到D点，由此可知( )
A．磁铁在A处，靠近小钢球的一定是N极
B．磁铁在B处，靠近小钢球的一定是S极
C．磁铁在C处，靠近小钢球的一定是N极
D．磁铁在B处，靠近小钢球的可以是磁铁的任意一端
解析：选D 由小钢球的运动轨迹知小钢球受力方向指向凹侧，即磁铁应在其凹侧，即B位置，磁铁的两极都可以吸引钢球，因此不能判断磁铁的极性。故D正确。
3．下列说法中正确的是( )
A．做曲线运动的物体，合外力一定为零
B．做曲线运动的物体，合外力一定是变化的
C．做曲线运动的物体，合外力方向与速度方向不在同一直线上
D．做曲线运动的物体，合外力方向与速度方向在同一直线上
解析：选C 物体做曲线运动的条件是物体所受合外力方向和速度方向不在同一直线上，合力一定不为零，故A、D错误，C正确；物体在恒力作用下可能做曲线运动，只要恒力方向与初速度方向不在同一条直线，故B错误。
运动的合成与分解
1．合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。
(2)物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。
2．合运动与分运动的四个特性
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等时性
各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
3．运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解。
(2)运动合成与分解的法则：合成和分解的内容是位移、速度、加速度的合成与分解，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则。
[典例]如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度vx为( )
A．小船做变速运动，vx＝
B．小船做变速运动，vx＝v0cos α
C．小船做匀速直线运动，vx＝
D．小船做匀速直线运动，vx＝v0cos α
[思路点拨]
(1)小船的速度沿绳方向的分速度与人拉绳的速度大小相等。
(2)根据小船的速度表达式判断小船运动性质。
[解析] 小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小。所以小船的速度vx应分解为沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得vx＝，α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变速运动，且vx＝。
[答案] A
“关联”速度的分解规律
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(1)分解依据：
①物体的实际运动就是合运动。
②由于绳、杆不可伸长，所以绳、杆两端所连物体的速度沿着绳、杆方向的分速度大小相同。
(2)分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳、杆或沿绳、杆的两个分量。
(3)常见的速度分解模型。
1．关于两个分运动的合运动，下列说法中正确的是( )
A．合运动的速度一定大于两个分运动的速度
B．合运动的速度一定大于一个分运动的速度
C．合运动的方向就是物体实际运动的方向
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
解析：选C 合速度的大小可以大于分速度的大小，也可以小于分速度的大小，还可以等于分速度的大小，故A、B均错；仅知道两个分速度的大小，无法画出平行四边形，也就不能求出合速度的大小，故D错，只有C正确。
2．[多选[如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则( )
A．vA＞vB
B．vA＜vB
C．绳的拉力等于B的重力
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D．绳的拉力大于B的重力
解析：选AD 小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知vB＝vAcos θ，则vB＜vA，小车向左运动的过程中θ角减小，vB增大，B做向上的加速运动，故绳的拉力大于B的重力。故A、D正确。
3．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升。当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度vA≠0，若这时B的速度为vB，则( )
A．vB≠0 B．vB＝0
C．vB＝vA D．vB>vA
解析：选B 对于A，它的速度如图中标出的vA，这个速度看成是A的合速度，其分速度分别是v1、vB，其中vB的大小等于B的速度的大小(同一根绳子，大小相同)，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，vA与vB垂直，故vB＝0。
小船渡河问题
[典例] 小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin 37°＝0.6)
[思路点拨] 求解小船渡河问题应理清以下问题
(1)水流速度不会帮助小船渡河；
(2)船头的方向就是小船自身速度的方向；
(3)小船实际运动的方向由合速度方向决定。
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[解析] (1)因为小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝＝ s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图所示，则v合＝＝4 m/s，经历时间t＝＝ s＝50 s。又cos θ＝＝＝0.6
即船头指向与岸的上游所成角度为53°。
[答案] (1)40 s 正对岸下游120 m处 (2)船头指向与岸的上游成53°角 50 s
小船渡河的两类问题、三种情景
最短时间
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
最短位移
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船
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