第4节 圆周运动
1．圆周运动是变速运动，匀速圆周运动是线速度大小
处处相等的圆周运动。
2．质点通过的圆弧长度与所用时间的比值为线速度大
小；半径转过的角度Δθ与所用时间的比值称为角
速度，角速度恒定的圆周运动是匀速圆周运动。
3．做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的时间叫周
期，物体单位时间内转过的圈数叫转速。
4．线速度、角速度、周期的关系为：v＝ωr＝，
T＝。
一、 线速度
1．定义：物体做圆周运动通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值。
2．定义式：v＝。
3．标、矢性：线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直。
4．匀速圆周运动
(1)定义：沿着圆周，并且线速度的大小处处相等的运动。
(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动。
二、 角速度
1．定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值。
2．定义式：ω＝。
3．单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s－1。
4．匀速圆周运动的角速度：匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
5．转速与周期
转速
周期
定义
物体单位时间内转过的圈数
做圆周运动的物体，转过一周所用的时间
符号
n
T
单位
转每秒(r/s)
秒(s)
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转每分(r/min)
三、 线速度与角速度的关系
1．两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。
2．关系式：v＝ωr。
1．自主思考——判一判
(1)做圆周运动的物体，其速度一定是变化的。(√)
(2)角速度是标量，它没有方向。(×)
(3)圆周运动线速度公式v＝中的Δs表示位移。(×)
(4)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等。(√)
(5)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同。(×)
(6)匀速圆周运动是一种匀速运动。(×)
2．合作探究——议一议
(1)打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技，如图所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？
提示：篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由v＝ωr可知不同高度的各点的线速度不同。
(2)如图所示，若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的周期各是多少？角速度之比是多少？
提示：秒针的周期T秒＝1 min＝60 s，
分针的周期T分＝1 h＝3 600 s。
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由ω＝得＝＝。
描述圆周运动的物理量间的关系
1．意义的区别
(1)线速度、角速度、周期、转速都能描述圆周运动的快慢，但它们描述的角度不同。线速度v描述质点运动的快慢，而角速度ω、周期T、转速n描述质点转动的快慢。
(2)要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用一个量是不够的，既需要一个描述运动快慢的物理量，又需要一个描述转动快慢的物理量。
2．各物理量之间的关系
3．v、ω及r间的关系
(1)由v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；ω一定时，v∝r。v与ω、r间的关系如图甲、乙所示。
(2)由ω＝知，v一定时，ω∝，ω与r间的关系如图甲、乙所示。
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传动装置问题分析
1．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，它们的角速度和线速度分别为ω1、ω2和v1、v2 。则( )
A．ω1>ω2，v1>v2 B．ω1vC，故C正确，A、B、D错误。
[答案] C
解决传动问题的两个关键点
(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr与半径r成正比。
(2)在皮带不打滑的情况下，皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝与半径r成反比。
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1.如图所示，跷跷板的支点位于板的中点，A、B是板的两个端点，在翘动的某一时刻，A、B的线速度大小分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，则( )
A．vA＝vB，ωA＝ωB B．vA≠vB，ωA＝ωB
C．vA＝vB，ωA≠ωB D．vA≠vB，ωA≠ωB
解析：选A A与B均绕跷跷板的中点做圆周运动，在相同的时间转过的角度相等，由角速度的定义式ω＝，可知角速度相等。由角速度与线速度关系公式v＝ωr，两端点的转动半径相同，故线速度相等，A正确。
2.如图所示的是一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
解析：选B a、b、c三点为共轴转动，故角速度相等，B正确，C错误；又由题图知，三点的转动半径ra＝rb＞rc，根据v＝ωr知，va＝vb＞vc，故A、D错误。
3.如图所示，A、B两点分别位于大小轮的边缘上、C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动，以下说法正确的是( )
A．ωA＝2ωC B．ωB＝2ωA
C．vA＝vC D．vA＝2vB
解析：选B 由题图可知，A与C属于同轴转动，所以角速度是相等的，故A错误；点A和点B属于同缘传送，具有相同的线速度大小，由：v＝ωr，结合A的半径是B的半径的2倍，所以ωB＝2ωA，故B正确，D错误；A、C两点角速度大小相等，C
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点位于大轮半径的中点，半径是A点半径的一半，再根据v＝ωr可知，A、C两点的线速度之比为2∶1，故C错误。
匀速圆周运动的多解问题
[典例] [多选]如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则( )
A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝d
B．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2d
C．圆筒转动的角速度可能为ω＝π
D．圆筒转动的角速度可能为ω＝3π
[解析] 子弹做平抛运动，故运动的时间t＝，水平位移为d，则d＝v0t，解得水平速度v0＝d，故A正确，B错误；由题意知，t＝＝，n＝0,1,2,3，…；解得ω＝2π，当n＝0时，C选项正确，当n＝1时，D选项正确。
[答案] ACD
匀速圆周运动的多解问题的解题思路
(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。
(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。
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1.[多选]如图所示，直径为d的纸筒绕垂直于纸面的O轴匀速转动(图示为截面)。从枪口射出的子弹以速度v沿直径穿过圆筒，若子弹穿过圆筒时先后在筒上留下A、B两个弹孔。AO与BO的夹角为θ，则圆筒转动的角速度ω可能为( )
A.v B.v
C.v D.v
解析：选CD 如果圆筒顺时针转动，圆筒转过的角度为α＝2nπ＋π＋θ(其中：n＝0,1,2，…)，经历的时间为t＝，故圆筒转动的角速度ω＝＝＝v，当n＝1时，ω＝v，故C正确；子弹穿过圆筒的过程中，如果圆筒逆时针转动，圆筒转过的角度为α＝2nπ＋π－θ(其中：n＝0,1,2，…)，时间：t＝，故圆筒转动的角速度ω＝＝＝v，当n＝1时，ω＝v，故D正确。
2．[多选]如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过圆心O的竖直轴OO′匀速转动，规定经过O点且水平向右为x轴的正方向。在O点正上方距盘面高为h处有一个可间断滴水的容器，从t＝0时刻开始随传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动。已知t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时，后一滴水恰好开始下落。要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘转动的角速度可能为( )
A. B．π
C．π D．2π
解析：选BC 水滴在竖直方向做自由落体运动，有：h＝gt2，解得：t＝
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，要使每一滴水在圆盘面上的落点都位于同一条直线上，在相邻两滴水的下落时间内，圆盘转过的角度为nπ，所以角速度为ω＝＝nπ(n＝1,2,3，…)，故B、C正确，A、D错误。
1．[多选]下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是( )
A．是线速度不变的运动 B．是角速度不变的运动
C．是周期不变的运动 D．是位移不变的运动
解析：选BC 匀速圆周运动中线速度的大小不变，方向不断变化；角速度的大小和方向都不变，周期不变，位移的方向时刻改变，故A、D错误，B、C正确。
2．[多选]关于地球上的物体随地球自转的角速度、线速度的大小，下列说法正确的是( )
A．在赤道上的物体线速度最大
B．在两极的物体线速度最大
C．在赤道上的物体角速度最大
D．在北京和广州的物体角速度一样大
解析：选AD 地球上的物体随地球一起绕地轴匀速转动，物体相对地面的运动在此一般可忽略，因此物体随地球一起绕地轴匀速转动的角速度一样，由v＝ωr知半径大的线速度大。物体在地球上绕地轴匀速转动时，在赤道上距地轴最远，线速度最大，在两极距地轴为0，线速度为0。在北京和广州的物体角速度一样大。故A、D正确。
3．[多选]关于匀速圆周运动的角速度与线速度，下列说法中正确的是( )
A．半径一定，角速度与线速度成反比
B．半径一定，角速度与线速度成正比
C．线速度一定，角速度与半径成反比
D．角速度一定，线速度与半径成正比
解析：选BCD 根据ω＝知，半径一定，角速度与线速度成正比，故A错误，B正确；根据ω＝知，线速度一定，角速度与半径成反比，C正确；根据v＝rω知，角速度一定，线速度与半径成正比，D正确。
4．如图所示是自行车传动结构的示意图，其中A是半径为r1的大齿轮，B是半径为r2的小齿轮，C是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为( )
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A. B.
C. D.
解析：选C 前进速度即为后轮的线速度，由于同一个轮上的各点的角速度相等，同一条线上的各点的线速度相等，可得ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，又ω1＝2πn，v＝ω3r3，所以v＝。选项C正确。
5.如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω转动，则( )
A．若θ＝30°，则vA∶vB＝1∶2
B．若θ＝30°，则vA∶vB＝2∶1
C．A、B两点的角速度相等
D．A、B两点的线速度相等
解析：选C 共轴转动的各点角速度相等，故A、B两点的角速度相等；A点的转动半径为Rcos 30°＝R，B点的转动半径为R，根据v＝Rω公式，线速度之比vA∶vB＝RA∶RB＝R∶R＝∶2，故A、B、D错误，C正确。
6.两小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图所示。当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则O点到小球2的距离是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意知两小球角速度相等，即ω1＝ω2，设球1、2到O点的距离分别为r1、r2，则＝，又r1＋r2＝L，所以r2＝，B正确。
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7．[多选]如图所示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n
D．从动轮的转速为n
解析：选BC 主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，A错误，B正确。由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的线速度相等，根据v＝2πnr得n2r2＝nr1，所以n2＝，故C正确，D错误。
8．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，速率计的指针指在120 km/h上，可估算此时该车车轮的转速为( )
A．1 000 r/s B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
解析：选B 由题意得v＝120 km/h＝ m/s，r＝0.3 m，又v＝2πnr，
得n＝≈18 r/s≈1 000 r/min。
9.变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度。如图是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则( )
A．该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换五种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA：ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA：ωD＝4∶1
解析：选C A轮通过链条分别与C、D轮连接，自行车可有两种速度，B轮分别与C、D
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轮连接，又可有两种速度，所以该车可变换四种挡位，故A、B错误。同缘传动边缘点线速度相等，前齿轮的齿数与转动圈数的乘积等于后齿轮齿数与转动圈数的乘积，当A与D组合时，两轮边缘线速度大小相等，得：NA·＝ND·，解得：ωA：ωD＝ND∶NA＝12∶48＝1∶4，故C正确，D错误。
10.如图所示，半径为20 cm的轻质定滑轮固定在天花板上，轻绳一端系一质量m＝2 kg的物体，另一端跨过定滑轮并施一恒定的竖直向下的拉力F＝25 N，已知A为滑轮边缘上的点，B到滑轮中心的距离等于滑轮半径的一半。设在整个运动过程中滑轮与轻绳没有相对滑动，不计一切阻力，那么(g取10 m/s2)( )
A．A、B均做匀速圆周运动
B．在F作用下，物体从静止开始运动，2 s末A点的线速度是2.5 m/s
C．在F作用下，物体从静止开始运动，2 s末B点的角速度是25 rad/s
D．在任何时刻，A点的角速度总是大于B点的角速度
解析：选C 对物体受力分析知F－mg＝ma，物体及细绳以共同的加速度a＝2.5 m/s2做匀加速运动，细绳和滑轮没有相对滑动， vA＝v绳＝at,2 s末速度vA＝5 m/s，A、B同轴转动，故与滑轮具有共同的角速度，线速度与半径成正比，故vB＝2.5 m/s，因为A、B两点的速度在变化，所以不是做匀速圆周运动，A、B、D错误；根据v＝ωr可知滑轮在2 s末的角速度ω＝＝ rad/s＝25 rad/s，故C正确。
11.如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方h处有出口B。一质量为m的小球从入口A沿圆筒壁切线方向水平射入圆筒内，要使小球从出口B飞出。小球进入入口A处的速度v0应满足什么条件？
解析：该题中小球的运动轨迹是空间螺
旋曲线，可将其分解为两个简单的分运动：一个是以初速度v0在筒内壁弹力作用下做匀速圆周运动，如图甲所示；另一个是在重力作用下做自由落体运动。因此若将圆筒直线AB展开为平面，则小球沿圆筒壁的运动是平抛运动，如图乙所示。据此得小球在筒内运动的时间t＝。
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由题设条件得水平方向的位移应是圆周长的整数倍，即l＝v0t＝2nπR(n＝1,2,3，…)。
联立以上两式得
v0＝nπR，(n＝1,2,3，…)。
答案：v0＝nπR，(n＝1,2,3，…)
12.如图所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：
(1)B球抛出时的水平初速度。
(2)A球运动的线速度最小值。
(3)试确定A球做匀速圆周运动的周期的可能值。
解析：(1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R＝v0t。①
在竖直方向上做自由落体运动，
则h＝gt2。②
由①②得v0＝＝R。
(2)A球的线速度取最小值时，A球刚好转过一圈的同时，B球落到a点与A球相碰，则A球做圆周运动的周期正好等于B球的飞行时间，
即T＝，
所以vA＝＝2πR。
(3)能在a点相碰，则A球在平抛的B球飞行时间内又回到a点。即平抛运动的时间等于A球周期的整数倍，所以
t＝＝nT，T＝，n＝1,2,3，…
答案：(1)R (2)2πR
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(3)(n＝1,2,3，…)
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