第6节 向心力
1．做匀速圆周运动的物体受到了指向圆心的合力，这
个合力叫向心力，它是产生向心加速度的原因。
2．向心力的大小为Fn＝m＝mω2r，向心力的方向始
终指向圆心，与线速度方向垂直。
3．向心力可能等于合外力，也可能等于合外力的一个
分力，向心力是根据效果命名的力。
4．可把一般的曲线运动分成许多小段，每一小段按圆
周运动处理。
一、 向心力
1．向心力
(1)定义：
做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合力。
(2)方向：
始终指向圆心，与线速度方向垂直。
(3)公式：
Fn＝m或Fn＝mω2r。
(4)效果力
向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。
2．实验验证
(1)装置：细线下面悬挂一个钢球，用手带动钢球使它在某个水平面内做匀速圆周运动，组成一个圆锥摆，如图所示。
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(2)求向心力：
①可用Fn＝m计算钢球所受的向心力。
②可计算重力和细线拉力的合力。
(3)结论：
代入数据后比较计算出的向心力Fn和钢球所受合力F的大小，即可得出结论：钢球需要的向心力等于钢球所受外力的合力。
二、 变速圆周运动和一般的曲线运动
1．变速圆周运动
变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果：
(1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力产生切向加速度at，描述线速度大小变化的快慢。
(2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力产生向心加速度an，向心加速度只改变速度的方向。
2．一般曲线运动的处理方法
一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧。圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径。这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理。
1．自主思考——判一判
(1)向心力既可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向。(×)
(2)物体做圆周运动的速度越大，向心力一定越大。(×)
(3)向心力和重力、弹力一样，是性质力。(×)
(4)圆周运动中指向圆心的合力等于向心力。(√)
(5)圆周运动中，合外力等于向心力。(×)
(6)向心力产生向心加速度。(√)
2．合作探究——议一议
(1)如图所示，物体在圆筒壁上随筒壁一起绕竖直转轴匀速转动，试问：物体受几个力作用？向心力由什么力提供？
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提示：物体受三个力，分别为重力、弹力和摩擦力。物体做匀速圆周运动，向心力等于以上三个力的合力，由于重力与摩擦力抵消，实际上向心力仅由弹力提供。
(2)荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡下时，
①此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
②绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？
提示：①秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动。
②由于秋千做变速圆周运动，合外力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点。
(3)列车匀速驶入如图所示的圆弧弯道时，列车所受的合力是否为零？若不为零方向怎样？
提示：列车匀速驶入圆弧弯道时做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，则列车所受的合力指向圆心，即指向轨道内侧。
对向心力的理解
1．向心力的大小
Fn＝man＝m＝mω2r＝mωv。
对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。
2．向心力的方向
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无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
3．向心力的作用效果
由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。
1．下列关于向心力的说法中，正确的是( )
A．做匀速圆周运动的质点会产生一个向心力
B．做匀速圆周运动的质点所受各力中包括一个向心力
C．做匀速圆周运动的质点所受各力的合力提供向心力
D．做匀速圆周运动的质点所受的向心力大小是恒定不变的
解析：选C 向心力是质点做圆周运动所需要的力，不是做圆周运动的质点产生的力，故A错误；质点做匀速圆周运动需要的向心力并不是质点实际受到的力，而是其他力的合力提供向心力，故B错误、C正确；向心力是效果力，不能说成质点受到的力，故D错误。
2．一圆盘可绕通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动。在圆盘上放置一小木块A，它随圆盘一起做加速圆周运动(如图所示)，则关于木块A的受力，下列说法正确的是( )
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力沿半径方向的分力提供向心力
解析：选D 木块随圆盘做加速圆周运动，摩擦力沿半径方向的分力提供向心力，摩擦力沿切线方向的分力改变速度的大小。所以两个分力合成后的合力不沿半径方向，不指向圆心，只有D项正确。
3. [多选]如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是( )
A．小球受到重力、线的拉力和向心力三个力
B．向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分量
D．向心力的大小等于Mgtan θ
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解析：选BCD 对于匀速圆周运动，向心力是物体实际受到的所有力的指向圆心的合力，受力分析时不能再说物体又受到向心力，故A错误，B正确。再根据力的合成求出合力大小，故C、D正确。
匀速圆周运动的特点及解题方法
1．质点做匀速圆周运动的条件
合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。匀速圆周运动是仅速度的方向变化而速度大小不变的运动，所以只存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。
2．匀速圆周运动的三个特点
(1)线速度大小不变、方向时刻改变。
(2)角速度、周期、频率都恒定不变。
(3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向时刻改变。
3．分析匀速圆周运动的步骤
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
(2)将物体所受外力通过力的正交分解，分解到沿切线方向和沿半径方向。
(3)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m＝，沿切线方向F合2＝0。
(4)解方程求出结果。
4．几种常见的匀速圆周运动实例
图形
受力分析
力的分解方法
满足的方程及向心加速度
或mgtan θ＝mω2lsin θ
an＝gtan θ
或mgtan θ＝mrω2
an＝gtan θ
或mgtan θ＝mrω2
an＝gtan θ
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an＝ω2r
[典例] 图566甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6, cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
图566
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小。
[思路点拨]
(1)质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零。
(2)质点到竖直轴OO′间的距离为小球圆周运动的半径。
[解析] (1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：Fcos 37°－mg＝0
解得F＝＝750 N。
(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37°＝mω2R
R＝d＋lsin 37°
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联立解得ω＝ ＝ rad/s。
[答案] (1)750 N (2) rad/s
匀速圆周运动解题策略
在解决匀速圆周运动的过程中，要注意以下几个方面：
(1)知道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节。
(2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的。
(3)根据线速度、角速度的特点，选择合适的公式列式求解。
1．未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是( )
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
解析：选B 旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项B正确。
2．[多选]如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有( )
A．线速度vA>vB
B．运动周期TA>TB
C．它们受到的摩擦力fA>fB
D．筒壁对它们的弹力NA>NB
解析：选AD 因为两物体做匀速圆周运动的角速度相等，又rA>rB, 所以vA＝rAω>vB＝rBω，选项A正确；因为ω相等，所以周期T相等，选项B错误；因竖直方向物体受力平衡，有f＝
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mg，故fA＝fB，选项C错误；筒壁对物体的弹力提供向心力，所以NA＝mrAω2>NB＝mrBω2，选项D正确。
3.如图所示，一轴竖直的锥形漏斗，内壁光滑，内壁上有两个质量不相同的小球A、B各自在不同的水平面内做匀速圆周运动，已知mAμmg，C正确。
8.[多选]有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是( )
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大
D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
解析：选BC 摩托车做匀速圆周运动，提供圆周运动的向心力是重力mg和支持力F的合力，受力分析如图所示。侧壁对摩托车的支持力F＝
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不变，则摩托车对侧壁的压力不变，故A错误；向心力Fn＝mgtan θ，m和θ不变，向心力大小不变，故D错误；根据Fn＝m，h越高，r越大，Fn不变，则v越大，故B正确；根据Fn＝mr，h越高，r越大，Fn不变，则T越大，故C正确。
9.摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图所示。当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，抵消离心力的作用。行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样。假设有一超高速列车在水平面内行驶，以100 m/s的速度拐弯，拐弯半径为500 m，则质量为50 kg的乘客，在拐弯过程中所受到的火车给他的作用力为(g取10 m/s2)( )
A．500 N B．500 N
C．1 000 N D．0
解析：选A 根据牛顿第二定律得：F合＝m＝50× N＝1 000 N，根据平行四边形定则知火车给乘客的作用力：N＝＝ N＝500 N，故A正确，B、C、D错误。
10.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面间的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值为( )
A. rad/s B. rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
解析：选C 当物体在圆盘上转到最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得：μmgcos θ－mgsin θ＝mω2r, 代入数据解得：ω＝1.0 rad/s，选项C正确，A、B、D错误。
11.利用如图所示的方法测定细线的抗拉强度。在长为L
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的细线下端悬挂一个质量不计的小盒，小盒的左侧开一孔，一个金属小球从斜轨道上释放后，水平进入小盒内，与小盒一起向右摆动。现逐渐增大金属小球在轨道上释放时的高度，直至摆动时细线恰好被拉断，并测得此时金属小球与盒一起做平抛运动的竖直位移h和水平位移x，若小球质量为m，试求：
(1)金属小球做平抛运动的初速度为多少？
(2)该细线的抗拉断张力为多大？
解析：(1)细线被拉断后，由平抛知识得h＝gt2，x＝v0t，
则小球做平抛运动的初速度v0＝x。
(2)拉断瞬间由牛顿第二定律可得
FT－mg＝，
则细线的抗拉断张力FT＝mg。
答案：(1)x (2)mg
12.在一根长为L的不计质量的细杆中点和末端各连一质量为m的小球B和C，如图所示，杆可以在竖直平面内绕固定点A转动，将杆拉到某位置放开，末端C球摆到最低位置时，杆BC受到的拉力刚好等于C球重力的2倍。重力加速度为g。求：
(1)C球通过最低点时的线速度大小；
(2)杆AB段此时受到的拉力大小。
解析：(1)C球通过最低点时，Fn＝TBC－mg
即：2mg－mg＝m
得C球通过最低点时的线速度大小为：vC＝。
(2)以最低点B球为研究对象，B球做圆周运动的向心力Fn＝TAB－mg－2mg
即TAB－3mg＝m
且vB＝vC
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得杆AB段此时受到的拉力大小为：TAB＝3.5mg。
答案：(1) (2)3.5mg
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