第7节 生活中的圆周运动
1．火车转弯处，外轨略高于内轨，使得火车所受支持
力和重力的合力提供向心力。当火车以合适的速率
通过弯道时，可以避免火车轮缘对内、外轨的挤压
磨损。
2．汽车过拱形桥时，在凸形桥的桥顶上，汽车对桥的
压力小于汽车重力，汽车在桥顶的安全行驶速度小
于；汽车在凹形桥的最低点处，汽车对桥的压
力大于汽车的重力。
3．绕地球做匀速圆周运动的航天器中，宇航员具有指
向地心的向心加速度，处于完全失重状态。
4．做圆周运动的物体，当合外力突然消失或不足以提
供向心力时，物体将做离心运动；当合外力突然大
于所需向心力时，物体将做近心运动。
一、铁路的弯道
1．火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时做圆周运动，具有向心加速度，由于其质量巨大，因此需要很大的向心力。
2．转弯处内外轨一样高的缺点
如果转弯处内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样铁轨和车轮极易受损。
3．铁路弯道的特点
(1)转弯处外轨略高于内轨。
(2)铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道内侧。
(3)铁轨对火车的支持力与火车所受重力的合力指向轨道的圆心，它提供了火车以规定速度行驶时的向心力。
二、 拱形桥
汽车过凸形桥
汽车过凹形桥
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受力
分析
向心力
Fn＝mg－FN＝m
Fn＝FN－mg＝m
对桥的
压力
FN′＝mg－m
FN′＝mg＋m
结论
汽车对桥的压力小于汽车的重量，而且汽车速度越大，对桥的压力越小
汽车对桥的压力大于汽车的重量，而且汽车速度越大，对桥的压力越大
三、航天器中的失重现象及离心运动
1．航天器在近地轨道的运动
(1)对航天器，在近地轨道可认为地球的万有引力等于其重力，重力充当向心力，满足的关系为Mg＝M。
(2)对航天员，由重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系为mg－FN＝m，由此可得FN＝0，航天员处于完全失重状态，对座椅压力为零。
(3)航天器内的任何物体之间均没有压力。
2．对失重现象的认识
航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受地球引力。正因为受到地球引力的作用才使航天器连同其中的乘员做匀速圆周运动。
3．离心运动
(1)定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动。
(2)原因：向心力突然消失或外力不足以提供所需向心力。
1．自主思考——判一判
(1)火车转弯时的向心力是车轨与车轮间的挤压提供的。(×)
(2)火车通过弯道时具有速度的限制。(√)
(3)汽车在拱形桥上行驶，速度较小时，对桥面的压力大于车重；速度较大时，对桥面的压力小于车重。(×)
(4)汽车过凹形桥底部时，对桥面的压力一定大于车重。(√)
(5)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员及所有物体均处于完全失重状态。(√)
(6)航天器中处于完全失重状态的物体不受重力作用。(×)
2．合作探究——议一议
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(1)地球可以看做一个巨大的拱形桥，桥面半径等于地球半径，试讨论：地面上有一辆汽车在行驶，地面对它的支持力与汽车的速度有何关系？驾驶员有什么感觉？
提示：根据汽车过凸形桥的原理，地球对它的支持力FN＝mg－m，随v的增大，FN减小，所以驾驶员有失重的感觉。
(2)雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图所示)，你能说出其中的原因吗？
提示：旋转雨伞时，水滴也随着运动起来，但伞面上的水滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，水滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
火车转弯问题
1．火车车轮的特点：火车的车轮有凸出的轮缘，火车在铁轨上运行时，车轮与铁轨有水平与竖直两个接触面，这种结构特点，主要是避免火车运行时脱轨，如图所示。
2．圆周平面的特点：弯道处外轨高于内轨，但火车在行驶过程中，重心高度不变，即火车的重心轨迹在同一水平面内，火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
3．向心力的来源分析：火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mgtan θ。
4．规定速度分析：若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力，则mgtan θ＝m，可得v0＝。(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0
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为转弯处的规定速度)
5．轨道压力分析
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨道无挤压作用。
(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下。
①当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力。
②当火车行驶速度v，火车在转弯时挤压内轨道
C．vmrω2即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。
(3)若Fn，人对座位有压力作用，压力有可能大于mg，B正确；由于从最高点向最低点运动时，速度会增大，在最低点速度大，根据a＝，人在最高点和最低点时的向心加速度大小不等，C错误；在最低点FN－mg＝m，支持力一定大于重力，根据牛顿第三定律，人对座位的压力大于重力，D正确。
8.汽车车厢顶部悬挂一根轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球。当汽车以某一速率在水平面上匀速行驶时弹簧的长度为L1，当汽车以同一速率匀速通过一个桥面为圆弧形的凸桥最高点时，弹簧长度为L2，则下列选项中正确的是( )
A．L1＝ L2 B．L1>L2
C．L1rA，所以B的向心加速度比A的大
B．因为an＝，而rB>rA，所以A的向心加速度比B的大
C．A的线速度比B的大
D．B的线速度比A的大
解析：选AD A、B两物体在同一转台上，且无滑动，所以角速度相同，由v＝ωr，rB>rA，得B的线速度大于A的线速度，C错误，D正确；又由an＝ω2r，得aB>aA，A正确，B错误。
6.质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C为圆周的最高点和最低点，B、D与圆心O在同一水平线上。小滑块运动时，物体M保持静止，关于物体M对地面的压力N和地面对物体M的摩擦力，下列说法正确的是( )
A．滑块运动到A点时，N＞Mg，摩擦力方向向左
B．滑块运动到B点时，N＜Mg，摩擦力方向向右
C．滑块运动到C点时，N＝(M＋m)g，M与地面无摩擦力
D．滑块运动到D点时，N＝Mg，摩擦力方向向左
解析：选D 小滑块运动到A点时，滑块对M的作用力竖直向上，系统在水平方向不受力的作用，所以没有摩擦力的作用，A错误；小滑块运动到B点时，需要的向心力向右，所以M
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对滑块有向右的支持力的作用，对M受力分析可知，地面要对物体M有向右的摩擦力的作用，在竖直方向上，物体M由于没有加速度，物体受力平衡，所以物体M对地面的压力N＝Mg，B错误；小滑块运动到C点时，滑块的向心力向上，所以滑块对物体M的压力要大于滑块的重力，故M受到的滑块的压力大于mg，那么M对地面的压力就要大于(M＋m)g，C错误；小滑块运动到D点需要的向心力向左，所以M对滑块有向左的支持力的作用，即滑块对M有向右的作用力，地面要对M有向左的摩擦力的作用，在竖直方向上，由于物体M没有加速度，物体受力平衡，所以物体M对地面的压力N＝Mg，D正确。
7.一种玩具的结构如图所示，竖直放置的光滑圆环的半径为R＝20 cm，环上有一穿孔的小球m，小球仅能沿环做无摩擦滑动。如果圆环绕着通过环心的竖直轴O1O2以10 rad/s的角速度旋转，则小球相对环静止时和环心O的连线与O1O2的夹角为(g取10 m/s2)( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选C 小球受到重力mg和圆环的支持力FN两个力的作用，两个力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝mω2r，又r＝Rsin θ，所以cos θ＝＝，故θ＝60°，选项C正确。
8.如图所示，静止在地球表面的a、b两物体随地球的自转而做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．物体b的线速度比物体a的线速度小
B．物体a、b所受合力都指向地心
C．物体a、b的角速度一样大
D．物体b的向心加速度比物体a向心加速度小
解析：选C a与b均绕地轴做匀速圆周运动，相同时间转过的角度相等，由角速度的定义式知a、b的角速度相等；角速度与线速度关系式为v＝ωr，b转动半径较大，所以b
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的线速度较大，A错误，C正确；它们受到的合外力提供做匀速圆周运动的加速度，可知它们的合力都指向各自做圆周运动的轨道的圆心，B错误；由a＝ω2r可知物体a的转动半径较小，角速度相同，物体a的向心加速度较小，即物体b的向心加速度的大小大于物体a的向心加速度的大小，D错误。
9．[多选]质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点。如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向。当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时木架停止转动，则( )
A．绳a对小球拉力不变
B．绳a对小球拉力增大
C．小球可能前后摆动
D．小球不可能在竖直平面内做圆周运动
解析：选BC 绳b烧断前，小球竖直方向的合力为零，即Fa＝mg，烧断b后，小球在竖直面内做圆周运动，且Fa′－mg＝m，所以Fa′＞Fa，选项A错误、选项B正确；当ω足够小时，小球不能摆过AB所在高度，选项C正确；当ω足够大时，小球在竖直面内能通过AB上方的最高点而做圆周运动，选项D错误。
10．[多选]如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
解析：选BC 小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故选项A错误、选项B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与小球重力在背离圆心方向的分力F1的合力提供向心力，即：FN－F1＝m，因此，外侧管壁一定对小球有作用力，而内侧壁无作用力，选项C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，选项D错误。
11.如图所示，斜面AB与竖直半圆轨道在B点圆滑相连，斜面倾角为θ
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＝45°，半圆轨道的半径为2 m，一小球从斜面下滑，进入半圆轨道，最后落到斜面上，当小球通过C点时，小球对轨道的压力为66 N，小球的质量为3 kg，g取10 m/s2，试求：
(1)小球通过C 点的速度为多大？
(2)小球从离开轨道到落到斜面所用的时间。
解析：(1)在C点，根据牛顿第二定律可得： FN＋mg＝m，解得vC＝8 m/s。
(2)小球离开轨道后做平抛运动，则x＝vCt；2R－x＝gt2，联立解得：t＝0.4 s。
答案：(1)8 m/s (2)0.4 s
12．如图所示，一根长0.1 m的细线，一端系着一个质量为0.18 kg的小球，拉住细线的另一端使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动。当小球的角速度增大到原来的3倍时，细线断裂，测得这时细线的拉力比原来大40 N。求：(g取10 m/s2)
(1)细线断裂的瞬间，细线的拉力大小；
(2)细线断裂时小球运动的线速度大小；
(3)如果桌面高出地面h＝0.8 m，细线断裂后小球垂直于桌面边缘飞出去的落地点离桌面边缘的水平距离s。
解析：(1)小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动时，细线的拉力提供向心力，有F＝mω2R
设原来的角速度为ω0，细线的拉力为F0；当角速度为ω＝3ω0时，细线的拉力为F。
则F∶F0＝ω2∶ω＝9∶1
又F－F0＝40 N
解得F＝45 N。
(2)设细线断裂时小球的线速度为v，
由牛顿第二定律得F＝m，
解得v＝ ＝ m/s＝5 m/s。
(3)由平抛运动的规律得小球在空中运动的时间为
t＝＝ s＝0.4 s
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故小球落地点离桌面边缘的水平距离
s＝vt＝5×0.4 m＝2 m。
答案：(1)45 N (2)5 m/s (3)2 m
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