专题四 归纳与猜想
专题提升演练
1.观察下面的几个算式:
1+2+1=4,1+2+3+2+1=9,1+2+3+4+3+2+1=16,1+2+3+4+5+4+3+2+1=25,……,根据你所发现的规律,请直接写出下面式子的结果:1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1的值为( )
A.100 B.1 000 C.10 000 D.100 000
答案C
2.将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对(n,m)表示第n排,从左到右第m个数,如(4,2)表示9,则表示58的有序数对是( )
A.(11,3) B.(3,11) C.(11,9) D.(9,11)
答案A
3.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m的值是 .
答案158
4.下图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第(1)个图案中有6根小棒,第(2)个图案中有11根小棒……则第(n)个图案中有 根小棒.
答案(5n+1)
5.【问题情境】
如图①,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)证明:AM=AD+MC.
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图②,探究展示(1)(2)中的结论是否成立?请分别作出判断.
解(1)证明:延长AE,BC并交于点N,如图①甲,
图①甲
∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠ENC.
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∵AE平分∠DAM,∴∠DAE=∠MAE.
∴∠ENC=∠MAE.∴MA=MN.
在△ADE和△NCE中,∠DAE=∠CNE,∠AED=∠NEC,DE=CE,
∴△ADE≌△NCE(AAS).
∴AD=NC.
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC.
(2)AM=DE+BM成立.
证明:过点A作AF⊥AE,交CB的延长线于点F,
如图①乙所示.
图①乙
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.
∵AF⊥AE,∴∠FAE=90°.
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE.
在△ABF和△ADE中,∠FAB=∠EAD,AB=AD,∠ABF=∠D=90°,
∴△ABF≌△ADE(ASA).
∴BF=DE,∠F=∠AED.
∵AB∥DC,∴∠AED=∠BAE.
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB=∠FAM.
∴∠F=∠FAM.∴AM=FM.
∴AM=FB+BM=DE+BM.
(3)①结论AM=AD+MC仍然成立.
证明:延长AE,BC并交于点P,如图②甲.
图②甲
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠EPC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠EPC=∠MAE.∴MA=MP.
在△ADE和△PCE中,∠DAE=∠CPE,∠AED=∠PEC,DE=CE,
∴△ADE≌△PCE(AAS).∴AD=PC.
∴MA=MP=PC+MC=AD+MC.
3
②结论AM=DE+BM不成立.
证明:假设AM=DE+BM成立.
过点A作AQ⊥AE,交CB的延长线于点Q,
如图②乙所示.
图②乙
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB∥DC.
∵AQ⊥AE,∴∠QAE=90°.
∴∠QAB=90°-∠BAE=∠DAE.
∴∠Q=90°-∠QAB=90°-∠DAE=∠AED.
∵AB∥DC,∴∠AED=∠BAE.
∵∠QAB=∠DAE=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠QAB=∠QAM.
∴∠Q=∠QAM.∴AM=QM.
∴AM=QB+BM.
∵AM=DE+BM,∴QB=DE.
在△ABQ和△ADE中,∠QAB=∠EAD,∠ABQ=∠D=90°,BQ=DE,
∴△ABQ≌△ADE(AAS).∴AB=AD.
与条件“AB≠AD”矛盾,故假设不成立.
∴AM=DE+BM不成立.
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