24.3正多边形和圆
一、夯实基础
1．方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
2．正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
3．正多边形都是对称图形，一个正n边形有 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的 ；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是 ，又是对称图形。
4．如图，将若干全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需要五边形（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
5．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A正三角形 B正五边形 C正六边形 D正七边形．
二、能力提升
6．用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片半径最小应为__ cm
7．正方形ABCD的内切圆⊙O的面积是81π，正方形ABCD的周长是______．
8．要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____________cm．
9．如图，有一个边长为3cm的正六边形，如果要在正六边形纸片中剪出一个最大的圆，则这个圆的半径是___________cm．
10．如图，五个相同的圆的圆心连成一个边长为10cm的正五边形，五边形内阴影部分的面积为_____.
8
11．已知两个正多边形的边数之比为2：1，而它们的内角和之比为8：3，求这两个正多边形的边数．
三、课外拓展
12．求出半径为R的圆内接正三角形的边长，边心距和面积.
13．足球面是由若干个正五边形和正六边形拼接而成，已知有12块正五边形，则正六边形的块数是多少？
14．将固定宽度的纸条打一个简单的结，然后系紧，使它成为一个平面的结，如图所示，求证：这个五边形是正五边形.
15．图①是“口子窖”酒的一个由铁片制成的包装底盒，它是一个无盖的六棱柱形状的盒子（如图②），侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9cm，有三条边长是3cm，每个内角都是120，六棱柱的高为3cm．现沿它的侧棱剪开展平，得到如图③的平面展开图．
8
（1）制作这种底盒时，可以按图④中虚线裁剪出如图③的模片．现有一块长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁片，请问能否按图④的裁剪方法制作这样的无盖底盒？并请说明理由；
（2）如果用一块正三角形铁皮按图⑤中虚线剪出如图③的模片，那么这个正三角形的边长至少应为________________cm．（说明：以上裁剪不计接缝处损耗）
四、中考链接
1．（2016·山东省德州市·4分）正六边形的每个外角是 度．
2．（2016·广西桂林·3分）正六边形的每个外角是 度．
6．（2016广西南宁3分）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（ ）
A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9
答案
1．【答案】中心
2．【答案】60°；1；；120°
3．正多边形都是 对称图形，一个正n边形有 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的 ；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是 ，
又是对称图形。
【答案】轴；n；中心；中心对称图形；轴对称图形.
8
4．【答案】：A
5．【答案】C
二、能力提升
6．【答案】4
7．【答案】72
8．【答案】
9．【答案】cm
解：如下图所示，连接OA、OB，过点O作OD⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=3cm，
∴AD=
∵cm
10．【答案】37.5π
解：如下图所示，正五边形的内角和是(5-2)×180°=540°，
∴五个阴影部分的面积之和是一个圆面积的1.5倍，
∵圆的直径是10cm，
∴圆的半径是5cm，
∴阴影部分的面积是
11．【答案】10和5
8
解：∵两个正多边形的边数之比是2:1，
设这两个正多边形的边数分别是2n和n，
则这两个正多边形的内角和分别是(2n-2) ×180° ，(n-2) ×180°
根据题意可得：(2n-2) ×180°：(n-2) ×180°=8:3，
解得：n=5，
则2n=10，
答：这两个正多边形的边数分别是10和5.
三、课外拓展
12．【答案】；R；
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R
在Rt△OBD中∠OBD=30°,
边心距＝OD=R
在Rt△OBD中 由勾股定理得：BD=
BC=2BD=
13．【答案】20块
8
解：设正六边形有5x块，则正五边形有3x块，
根据题意可得：3x=12，
解得：x=4，
5x=20，
答：正六边形的块数是20.
14．证明：如下图所示，连接BD，过点O作OM⊥AE，ON⊥DE，
则OM=ON，
∵AC∥DE，BD∥AE，
∴四边形AODE是平行四边形，
∴AE×OM=DE×ON，
∴AE=DE，
同理可证：AB=BC=CD=DE=EA ，
∴五边形ABCDE是正五边形.
15．【答案】(1)能；理由见解析；(2)
【解析】
试题分析：(1)构造含30°的直角三角形，利用直角三角形的性质求出长方形的长和宽，通过比较判断能否按图④的裁剪方法制作这样的无盖底盒；
(2)结合图中的数据，构造含30°的直角三角形、正方形、等边三角形，然后再计算求值.
解：(1)能.
8
如下图所示，构造含30°的直角三角形，
可得：图4中的长方形的宽为：，
长方形的长为，
因为
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