24.2.1 点和圆的位置关系
一、夯实基础
1．下列说法正确的是（ ）
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点
D．过四点A、B、C、D的圆不存在
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
3．若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
4．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是 ．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心， cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 ．
6．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有 个．
二、能力提升
7．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
8．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（ ）
7
A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上 C．点D在⊙A内 D．无法确定
9．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（3，4），点P的坐标是（5，8），你认为点P的位置为（ ）
A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠B=30°，AC=，则⊙O的直径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
三、课外拓展
12．在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，则△ABC外接圆的半径为 ．
13．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．回答下列问题：
（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；
（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．
14．若Rt△ABC的两条直角边a，b是方程x2﹣3x+1=0的两根，则Rt△ABC的外接圆面积是 ．
15．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
7
16．某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．
（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；
（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；
（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由．
四、中考链接
1．（2013年福州）已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．
2.（2014年昌邑）一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是 或 ．
答案
1．选：B．
2．选A．
3．选A．
4．答案为：0≤d＜3cm．
5．答案为：点B； 点M； 点A、C．
7
6．答案为：两．
7．选C．
8．选A．
9．选A．
10．选D．
11．选：D．
12．解：过O作OD⊥BC，由垂径定理得，
BD=BC=12cm，
在Rt△OBD中，OD=6cm，BD=12cm，
∴OB==cm，
即△ABC外接圆的半径为cm．
13．解：（1）正方形ABCD的边长为1cm，则正方形ABCD被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值为其外接圆的半径，如图1，正方形ABCD的外接圆为⊙0，
∵∠B=90°，
∴AC为直径，
∴AC=AB=，
∴OA=，
∴r的最小值是cm；
7
（2）边长为1cm的等边三角形ABC被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值为其外接圆的半径，如图2，等边三角形ABC的外接圆为⊙0，
连结OB，作OD⊥BC于D，
∵点O为等边三角形ABC的外心，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBD=30°，
∵OD⊥BC，
∴BD=BC=，
∴OB=，
∴r的最小值是cm．
故答案为；．
14．解：∵圆的半径r=c，
根据两直角边a、b分别是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根，可得
a+b=3，a•b=1，
∴c2=a2+b2=（a+b）2﹣2a•b=7，
∴Rt△的外接圆的面积为πr2=π×（）2=π．
故答案为：π．
15．【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
7
∴由垂径定理得：
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．
（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知：，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠4=∠5，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．（7分）
6．解：（1）（2）
；
（3）连接OB，OA，并延长AO交BC于D，
∵r=OB==，
7
∴S⊙O=πr2=≈16.75，
又S平行四边形=2S△ABC=2××42×sin60°=8≈13.86，
∵S⊙O＞S平行四边形，
∴选择建圆形花坛面积较大．
中考链接：
1．解：（1）当d=4 cm时，
∵d＜r，
∴点P在圆内；
（2）当d=5 cm时，
∵d=r，
∴点P在圆上；
（3）当d=6 cm时，
∵d＞r，
∴点P在圆外．
2．答案为6.5cm或2.5cm．
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