24.1.4 圆周角
一、夯实基础
1.(2013·泰安中考)如图,点A,B,C在☉O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,则∠BOC等于( )
A.60° B.70° C.120° D.140°
【解析】选D.延长CO交AB于D,则∠BOC=∠ODB+∠B=∠A+∠C+∠B,又因为
∠BOC=2∠A,即2∠A=∠A+∠C+∠B,2∠A=∠A+32°+38°,所以∠A=70°,所以
∠BOC=140°.
2.(2013·珠海中考)如图,▱ABCD的顶点A,B,D在☉O上,顶点C在☉O的直径BE上,∠ADC=54°,连接AE,则∠AEB的度数为( )
A.36° B.46° C.27° D.63°
【解析】选A.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADC=54°.
∵BE是☉O的直径,∴∠BAE=90°,
∴∠AEB=90°-∠B=90°-54°=36°.
3.如图,两圆相交于A,B两点,小圆经过大圆的圆心O,点C,D分别在两圆上,若
∠ADB=100°,则∠ACB的度数为( )
A.35° B.40°
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C.50° D.80°
【解析】选B.连接OA,OB,
∵四边形AOBD内接于圆,∠ADB=100°,
∴∠AOB=180°-100°=80°.
∵∠ACB=12∠AOB,∴∠ACB=12×80°=40°.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·青海中考)如图,在☉O中直径CD垂直弦AB,垂足为E,若∠AOD=52°,则∠DCB= .
【解析】∵CD是直径,CD⊥AB,∴AD=BD,
∴∠DCB=12∠AOD=12×52°=26°.
答案:26°
【方法技巧】同一圆中证明两角相等、两弧相等的“两种方法”
(1)证明两角相等
①同弧或者等弧所对的圆心角相等;
②同弧或者等弧所对的圆周角相等(在同圆或者等圆中,同弧或者等弧所对的圆周角都等于这条弧所对圆心角的一半).
(2)证明两弧相等
①垂径定理及其推论中弧、弦、圆心角三者之间的关系;
②在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
即有弧找角、有角找弧是证明弧相等或者角相等常用的思维方法.
5.(2013·株洲中考)如图AB是☉O的直径,∠BAC=42°,点D是弦AC的中点,则∠DOC的度数是 度.
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【解析】方法一:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∴∠B=90°-∠A=48°,
∴∠AOC=2∠B=96°,
∵OA=OC,AD=CD,∴∠DOC =12∠AOC=48°.
方法二:∵AD=CD,∴OD⊥AC,
∴∠CDO=90°,∴∠DOC+∠ACO=90°,
∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=42°,
∴∠DOC =90°-∠A=48°.
答案:48
6.如图,AB是半圆O的直径,C,D是AB上两点,∠ADC=120°,则∠BAC的度数是
度.
【解析】∵∠ADC=120°,
∴∠B=180°-∠ADC=60°.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC=90°-60°=30°.
答案:30
【拓展延伸】同一条弧所对的四类角及两关系
四类角:
(1)圆心角:顶点在圆心的角.
(2)圆周角:顶点在圆上,两边和圆相交的角.
(3)圆内角:顶点在圆内,两边和圆相交的角.
(4)圆外角:顶点在圆外,两边和圆相交的角.
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两关系:
(1)一条弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半.
(2)一条弧对的圆内角>该弧对的圆周角>该弧对的圆外角.
二、能力提升
7.(8分)如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交☉O于点F,点F不与点A重合.
(1)AB与AC的大小有什么关系?为什么?
(2)按角的大小分类,请你判断△ABC属于哪一类三角形,并说明理由.
【解析】(1)AB=AC.连接AD,∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
又∵DC=BD,∴AB=AC.
(2)△ABC是锐角三角形.
由(1)知,∠B=∠C该弧对的圆外角.
二、能力提升
7.(8分)如图,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交☉O于点F,点F不与点A重合.
(1)AB与AC的大小有什么关系?为什么?
(2)按角的大小分类,请你判断△ABC属于哪一类三角形,并说明理由.
【解析】(1)AB=AC.连接AD,∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
又∵DC=BD,∴AB=AC.
(2)△ABC是锐角三角形.
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由(1)知,∠B=∠C
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