24.1.2 垂直于弦的直径
一、夯实基础
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD=5，则弦AC=______．
2．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．
3．如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为______．
4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为______．
5．如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
11
A．2 B．3 C．4 D．5
7．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（ ）
A．7cm B．1cm C．7cm或4cm D．7cm或1cm
8．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（ ）
A． B． C． D．
二、能力提升
9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为______．
10．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为______．
11．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=4，0C=2，则半径OB的长为______．
11
12．如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是______．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）
A．CM=DM B． = C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
14．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．4
15．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
16．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）
11
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
三、课外拓展
17．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．
18．如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
19．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．
四、中考链接
1．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）
11
A．5 B．7 C．9 D．11
2.（2016·贵州安顺·4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．
答案
1答案为：10．
2．答案为：48．
3．答案为：．
4．答案为：2．
5．答案为：（3，2）．
6．答案为：5．
7．答案为：4．
8．解：连接OP并延长与圆相交于C．过点P作AB⊥CQ，AB即为最短弦．
因为AO=5，OP=4，
根据勾股定理AP==3，
则根据垂径定理，
AB=3×2=6．
11
9．解：∵OC⊥弦AB于点C，
∴AC=BC=AB，
在Rt△OBC中，OB==．
故选B．
10．解：①M与A或B重合时OM最长，等于半径5；
②∵半径为5，弦AB=8
∴∠OMA=90°，OA=5，AM=4
∴OM最短为=3，
∴3≤OM≤5，
因此OM不可能为2．
故选A．
11．解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE=BE=AB=3，CF=DF=CD=4，
在Rt△AOE中，∵OA=5，AE=3，
∴OE==4，
在Rt△COF中，∵OC=5，CF=4，
∴OF==3，
当点O在AB与CD之间时，AB和CD的距离EF=OE+OF=4+3=7（cm）；
当点O不在AB与CD之间时，AB和CD的距离EF=OE﹣OF=4﹣3=1（cm），
即AB和CD的距离为1cm或7cm．
故选D．
11
12．解：过O作OC⊥AB于C．
在Rt△OAC中，OA=2，∠AOC=∠AOB=60°，
∴AC=OA•sin60°=，
因此AB=2AC=2．
故选B．
13．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；
B为的中点，即=，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，
∵，
∴△ACM≌△ADM（SAS），
∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．
故选：D
14．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM=ON==3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
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∴四边形MONP是正方形，
∴OP=3
故选：C．
15．解：连接OC，根据题意，
CE=CD=6，BE=2．
在Rt△OEC中，
设OC=x，则OE=x﹣2，
故：（x﹣2）2+62=x2
解得：x=10
即直径AB=20．
故选D．
16．解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD=AB=×8=4cm，
设OA=r，则OD=r﹣2，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得r=5cm．
故选C．
11
17．证明：连结OA、OC，如图，
∵E、F分别为弦AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，
∵AB=CD，
∴AE=CF，
在Rt△AEO和Rt△COF中，
，
∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），
∴OE=OF．
18．证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵AD=AB，AE=AC，∠ADO=∠AEO=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠DAE=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴四边形ADOE是正方形．
19．解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=30cm，CD=16cm，
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∴AE=AB=×30=15cm，CF=CD=×16=8cm，
在Rt△AOE中，
OE===8cm，
在Rt△OCF中，
OF===15cm，
∴EF=OF﹣OE=15﹣8=7cm．
答：AB和CD的距离为7cm．
中考链接：
1.解：由题意可得，
OA=13，∠ONA=90°，AB=24，
∴AN=12，
∴ON=，
故选A．
2.解：如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∴CE=ED=CD=3．
∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，
∴OE=
∴BE=OB﹣OE=4﹣．
故答案为4﹣．
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