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3.简谐运动的回复力和能量
基础巩固
1 关于简谐运动的回复力,下列说法正确的是( )
A.可以是恒力
B.可以是方向不变而大小改变的力
C.可以是大小不变而方向改变的力
D.一定是变力
解析：回复力特指使振动物体回到平衡位置的力,对简谐运动而言,其大小必与位移大小成正比,故
为变力。
答案：D
2 物体做简谐运动的过程中,有两点 A、A'关于平衡位置对称,则物体( )
A.在 A 点和 A'点的位移相同
B.在两点处的速度可能相同
C.在两点处的加速度可能相同
D.在两点处的回复力可能相同
解析：由于 A、A'关于平衡位置对称,所以物体在 A、A'点时的位移大小相等、方向相反,故 A 项错
误。而 A、A'点的速率一定相同但速度方向可能相同也可能相反,因每个点处速度都有两个可能方
向,故 B 项正确。回复力一定指向平衡位置,所以 A、A'点的回复力方向相反,但因其与位移大小成
正比,所以回复力大小相等,D 项错误。加速度情况与回复力相同,因此可知 C 项错误。
答案：B
3 如图所示,弹簧振子 B 上放一个物块 A,在 A 与 B 一起做简谐运动的过程中,关于 A 受力说法正
确的是( )2
A.物块 A 受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B.物块 A 受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C.物块 A 受重力、支持力及 B 对它的恒定的摩擦力
D.物块 A 受重力、支持力及 B 对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
答案：D
4 某一质点的振动图象如图所示,|x1|>|x2|,由图可知,在 t1 和 t2 两个时刻,质点振动的速度 v1、
v2 与加速度 a1、a2 的关系为( )
A.v1a2,方向相反
解析：由图象知 t1、t2 两时刻质点都在沿 x 轴负方向运动,越靠近平衡位置,速度越大,故选项 A 正
确。由 a = -kx
m 可知,选项 D 正确。
答案：AD
5 光滑平面上,弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动,下列说法正确的是( )
A.弹簧的弹力越来越大,弹簧的弹性势能也越来越大
B.弹簧振子的机械能逐渐减小
C.弹簧的弹力做负功
D.弹簧振子做加速度越来越大的加速运动3
解析：弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动的过程中,弹簧的弹力为阻力,弹簧的动能逐渐减小
而势能逐渐增大,但系统机械能守恒。
答案：AC
6 当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时,下列说法正确的是( )
A.振子在振动过程中,速度相同时,弹簧的长度一定相等,弹性势能相等
B.振子从最低点向平衡位置运动的过程中,弹簧弹力始终做负功
C.振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供
D.振子在运动过程中,系统的机械能守恒
解析：振子在平衡位置两侧往复运动,速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点,这时
弹簧长度明显不等,A 错;振子由最低点向平衡位置运动的过程中,弹簧对振子施加的力指向平衡位
置,做正功,B 错;振子运动过程中的回复力由振子所受合力提供且运动过程中机械能守恒,故 C、D
对。
答案：CD
7 某弹簧振子沿 x 轴的简谐运动图象如图所示,下列描述正确的是( )
A.t=1 s 时,振子的速度为零,加速度为负的最大值
B.t=2 s 时,振子的速度为负,加速度为正的最大值
C.t=3 s 时,振子的速度为负的最大值,加速度为零
D.t=4 s 时,振子的速度为正,加速度为负的最大值
答案：A4
8 一质量为 m,底面积为 S 的正方体木块,放在水面上静止(平衡),如图所示。现用力向下将其压
入水中一定深度后(未全部浸没)撤掉外力,木块在水面上下振动,试判断木块的振动是否为简谐运
动。
解析：以木块为研究对象,设静止时木块浸入水中 Δx 深,当木块又被压入水中 x 后受力如图所示,
则 F 回=mg-F 浮
又 F 浮=ρgS(Δx+x)
则 F 回=mg-ρgS(Δx+x)=mg-ρgSΔx-ρgSx
mg=ρgSΔx,所以 F 回=-ρgSx
即 F 回=-kx(k=ρgS)
所以木块的振动为简谐运动。
答案：木块的振动是简谐运动
能力提升
1 关于简谐运动中弹簧振子的合力和位移的关系,图中表示正确的是( )
答案：C5
2 如图所示,轻质弹簧下端挂重为 30 N 的物体 A,弹簧伸长了 3 cm,再挂重为 20 N 的物体 B 时又
伸长了 2 cm,若将连接 A 和 B 的连线剪断,使 A 在竖直面内振动时,下面结论正确的是( )
A.振幅是 2 cm B.振幅是 3 cm
C.最大回复力为 30 N D.最大回复力为 50 N
解析：物体 A 振动的平衡位置是弹簧挂上 A 静止的位置,挂上物体 B 后伸长 2cm,即是 A 振动的振幅。
因为 kx1=mAg,所以 k=10N/cm,最大回复力 F=kx2=10×2N=20N。
答案：A
3 如图所示,质量为 m 的小球放在劲度系数为 k 的轻弹簧上,小球上下振动而又始终未脱离弹簧。
则( )
A.小球的最大振幅为mg
k
B.在最大振幅下弹簧对小球的最大弹力是 mg
C.小球在振动过程中机械能守恒
D.弹簧的最大弹性势能为2m2g2
k
解析：最大振幅满足 kA=mg,所以 A = mg
k ,故A 项正确;在 A = mg
k
的条件下小球在最高点和最低点所受回复力大小相同,所以 Fmax-mg=mg,得 Fmax=2mg,所以 B 项错误;6
小球和弹簧组成的系统机械能守恒,所以 C 项错误;当小球到达最低点时弹簧的形变量最大,所以弹
性势能最大,根据机械能守恒或动能定理得最大弹性势能为 2mgA = 2m2g2
k ,所以D 项正确。
答案：AD
★ 4 如图甲所示,弹簧振子以 O 点为平衡位置,在 A、B 两点之间做简谐运动。取向右为正方向,
振子的位移 x 随时间 t 的变化如图乙所示,下列说法正确的是( )
A.t=0.2 s 时,振子在 O 点左侧 10 cm 处
B.t=0.1 s 和 t=0.3 s 时,振子的速度相同
C.t=0.5 s 和 t=0.7 s 时,振子的加速度相同
D.从 t=0.2 s 到 t=0.4 s,系统的势能逐渐增加
答案：D
★ 5 如图所示,弹簧一端固定在天花板上,另一端挂一质量为 m 的物体,今托住物体使弹簧没有发
生形变,然后将物体无初速度释放而做简谐运动,在物体从开始运动到到达最低点的过程中物体的
重力势能 ,弹簧的弹性势能 ,物体动能 ,而系统的机械
能 。(均选填“增大”“减小”“不变”“先增大后减小”或“先减小后增大”)
解析：固定在天花板上的弹簧振子做简谐运动,选地板为重力势能的参考平面,物体从开始运动到
到达最低点这一过程中,物体离地面的距离不断减小,则重力势能不断减小,弹簧的长度不断增大,
则弹性势能不断增大,物体不断运动,到达平衡位置时,速度增大到最大,由平衡位置运动到最低点
过程中,速度不断减小,所以动能先增大后减小,但总的机械能不变。7
答案：减小 增大 先增大后减小 不变
6 下图为一弹簧振子的振动图象。
(1)从计时开始经多长时间第一次达到弹性势能最大值?
(2)在 2~3 s 这段时间内弹簧振子的加速度大小、速度大小、动能和弹性势能各怎样变化?
(3)该振子在前 100 s 内的总位移是多少?路程是多少?
解析：(1)由题图知,在计时开始的时刻振子恰好以沿 x 轴正方向的速度通过平衡位置,此时弹簧振
子有最大动能,随着时间的延长,速度不断减小,而位移逐渐增大,经T
4,即1s,其位移达到最大,此时弹
性势能最大。(2)由题图知,t=2s 时,振子恰好通过平衡位置,此时加速度为零;随着时间的延长,位
移不断增大,加速度也变大,速度不断减小,动能不断减小,弹性势能逐渐增大;当 t=3s 时,加速度达
到最大,速度等于零,动能等于零,弹性势能达到最大值。(3)振子经一个周期,位移为零,路程为
4×5cm=20cm,前 100s 刚好经过了 25 个周期,所以前 100s 内振子位移 x=0,振子通过的路程
s=20cm×25=500cm=5m。
答案：(1)1 s (2)见解析 (3)0 5 m
★ 7 质量分别为 m1 和 m2 的两物块用轻弹簧相连,将它们竖立在水平面上,如图所示。现在用竖直
向下的压力压 m1,使它们处于静止状态。突然撤去压力,当 m1 上升到最高点时,m2 对地压力恰好为零。
则系统静止时竖直向下的压力大小等于多少?(提示：撤去力后 m1 上下做简谐运动)
解析：当 m1 运动到最高点时,m2 对地压力恰好为零,则此时弹簧弹力为 m2g。所以 m1 做简谐运动的
最大加速度 a = (m1 + m2)g
m1
;根据简谐运动对称性可知,突然撤去压力时 m1 向上的加速度大小也是 a
= (m1 + m2)g
m1
;8
则压力 F=m1a=(m1+m2)g
答案：(m1+m2)g
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