第24章 《圆》 单元测试卷
一.选择题(共10小题)
1.已知⊙O的半径为4,点O到直线m的距离为3,则直线m与⊙O公共点的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.如图,AB是⊙O的直径,AB⊥CD于E,AB=10,CD=8,则BE为( )
A.2 B.3 C.4 D.3.5
3.正六边形内接于圆,它的边所对的圆周角是( )
A.60° B.120° C.60°或120° D.30°或150°
4.⊙O的半径r=5cm,直线l到圆心O的距离d=4,则直线l与圆的位置关系( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.重合
5.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,点D在BA的延长线上,CD与⊙O交于另一点E,DE=OB=2,∠D=20°,则的长度为( )
A.π B.π C.π D.π
6.如图,⊙O是△ABC 的外接圆,BC 是直径,D在圆上,连接AD、CD,若∠ADC=35°,则∠ACB=( )
A.70°o B.55°o C.40°o D.45°
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,若BC=4,则图中阴影部分的面积为( )
A.π+1 B.π+2 C.2π+2 D.4π+1
8.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠C=30°,⊙O的半径为5,若点P是⊙O上的一点,在△ABP中,PB=AB,则PA的长为( )
A.5 B. C.5 D.5
9.如图是某公园的一角,∠AOB=90°,弧AB的半径OA长是6m,C是OA的中点,点D在弧AB上,CD∥OB,则图中休闲区(阴影部分)的面积是( )
A. B.
C. D.
10.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点P.若∠BCD=32°,则∠CPD的度数是( )
A.64° B.62° C.58° D.52°
二.填空题(共8小题)
11.如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,若∠ACD=25°,则∠BOD的度数为 .
12.如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为直径,BC=4,点E是△ABC的内心,连接AE并延长交⊙O于点D,则DE= .
13.如图所示,点A在半径为20的圆O上,以OA为一条对角线作矩形OBAC,设直线BC交圆O于D、E两点,若OC=12,则线段CE、BD的长度差是 .
14.如图,半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A,将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移,当平移到AB与⊙O相切时,该直角三角板平移的距离为 .
15.如图,PA、PB切⊙O于A、B,点C在上,DE切⊙O于C,交PA、PB于D、E,已知PO=13cm,⊙O的半径为5cm,则△PDE的周长是 .
16.△ABC中,AB=CB,AC=10,S△ABC=60,E为AB上一动点,连结CE,过A作AF⊥CE于F,连结BF,则BF的最小值是 .
17.如图,等边三角形△ABC内接于半径为1的⊙O,则图中阴影部分的面积是 .
18.如图,已知线段AB=6,C为线段AB上的一个动点(不与A、B重合),将线段AC绕点A逆时针旋转120°得到AD,将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到BE,⊙O外接于△CDE,则⊙O的半径最小值为 .
三.解答题(共7小题)
19.十一期间,小明一家一起去旅游,如图是小明设计的某旅游景点的图纸(网格是由相同的小正方形组成的,且小正方形的边长代表实际长度100m,在该图纸上可看到两个标志性景点A,B.若建立适当的平面直角坐标系,则点A(﹣3,1),B(﹣3,﹣3),第三个景点C(1,3)的位置已破损.
(1)请在图中画出平面直角坐标系,并标出景点C的位置;
(2)平面直角坐标系的坐标原点为点O,△ACO是直角三角形吗?请判断并说明理由.
20.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连结AC交⊙O于点F.
(1)AB与AC的大小有什么关系?请说明理由;
(2)若AB=8,∠BAC=45°,求:图中阴影部分的面积.
21.已知AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,A是切点,BP与⊙O交于点C.
(1)如图①,若∠P=35°,求∠ABP的度数;
(2)如图②,若D为AP的中点,求证:直线CD是⊙O的切线.
22.如图,已知锐角△ABC内接于⊙O,连接AO并延长交BC于点D.
(1)求证:∠ACB+∠BAD=90°;
(2)过点D作DE⊥AB于E,若∠ADC=2∠ACB,AC=4,求DE的长.
23.如图,点I是△ABC的内心,AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点E.
(1)求证:DI=DB;
(2)若AE=6cm,ED=4cm,求线段DI的长.
24.如图,已知扇形AOB的圆心角为直角,正方形OCDE内接于扇形AOB.点C、E、D分别在OA、OB、弧AB上,过点A作AF⊥DE交ED的延长线于F,如果正方形的边长为1,求阴影部分M、N的面积和.
25.如图:△ABC是圆的内接三角形,∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E,延长AE交圆于点D,连接BD、DC,且∠BCA=60°.
(1)求证:△BED为等边三角形;
(2)若∠ADC=30°,⊙O的半径为,求BD长.
参考答案
一.选择题(共10小题)
1.【解答】解:∵d=3<半径=4
∴直线与圆相交
∴直线m与⊙O公共点的个数为2个
故选:C.
2.【解答】解:连接OC.
∵AB是⊙O的直径,AB=10,
∴OC=OB=AB=5;
又∵AB⊥CD于E,CD=8,[来源:Zxxk.Com]
∴CE=CD=4(垂径定理);
在Rt△COE中,OE=3(勾股定理),
∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2,即BE=2;
故选:A.
3.【解答】解:圆内接正六边形的边所对的圆心角=360°÷6=60°,
根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半,
边所对的圆周角的度数是60×=30°或180°﹣30°=150°.
故选:D.
4.【解答】解:∴⊙O的半径为5cm,如果圆心O到直线l的距离为4cm,
∴5>4,
即d<r,
∴直线l与⊙O的位置关系是相交,
故选:C.
5.【解答】解:连接OE、OC,如图,
∵DE=OB=OE,
∴∠D=∠EOD=20°,
∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°,
∵OE=OC,
∴∠C=∠CEO=40°,
∴∠BOC=∠C+∠D=60°,
∴的长度==π,
故选:A.
6.【解答】解:∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∵∠B=∠D=35°,
∴∠ACB=55°,
故选:B.
7.【解答】解:连接OD、AD,
∵在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,
∴∠C=45°,
∴∠BAC=90°,
∴△ABC是Rt△BAC,
∵BC=4,[来源:学科网]
∴AC=AB=4,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,BO=DO=2,
∵OD=OB,∠B=45°,
∴∠B=∠BDO=45°,
∴∠DOA=∠BOD=90°,
∴阴影部分的面积S=S△BOD+S扇形DOA=+=π+2.
故选:B.
8.【解答】解:连接OA、OB、OP,
∵∠C=30°,
∴∠APB=∠C=30°,
∵PB=AB,
∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°,
∵PB=AB,
∴OB⊥AP,AD=PD,
∴∠OBP=∠OBA=60°,
∵OB=OA,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=5,
则Rt△PBD中,PD=cos30°•PB=×5=,
∴AP=2PD=5,
故选:D.
9.【解答】解:连接OD,
∵弧AB的半径OA长是6米,C是OA的中点,
∴OC=OA=×6=3米,[来源:学科网ZXXK]
∵∠AOB=90°,CD∥OB,
∴CD⊥OA,
在Rt△OCD中,
∵OD=6,OC=3,
∴CD===3米,
∵sin∠DOC===,
∴∠DOC=60°,
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△DOC=﹣×3×3 =(6π﹣)平方米.
故选:A.
10.【解答】解:连接OC,
∵CD⊥AB,∠BCD=32°,
∴∠OBC=58°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC=58°,
∴∠COP=64°,
∵PC是⊙O的切线,
∴∠OCP=90°,
∴∠CPO=26°,
∵AB⊥CD,
∴AB垂直平分CD,
∴PC=PD,
∴∠CPD=2∠CPO=52°
故选:D.
二.填空题(共8小题)
11.【解答】解:由圆周角定理得,∠AOD=2∠ACD=50°,
∴∠BOD=180°﹣50°=130°,
故答案为:130°.
12.【解答】解:如图,连接BD,CD,EC.
∵点E是△ABC的内心,
∴∠DAB=∠DAC,∠ECA=∠ECD,
∵∠DCB=∠DAB,∠DEC=∠EAC+∠ECA,∠ECD=∠ECB+∠DCB,
∴∠DEC=∠DCE,
∴DE=DC,
∵BC是直径,
∴∠BDC=90°,
∵∠DAB=∠DAC,
∴=,
∴BD=DC,
∵BC=4,
∴DC=DB=2,
∴DE=2,
故答案为2.
13.【解答】解:如图,设DE的中点为M,连接OM,则OM⊥DE.
∵在Rt△AOB中,OA=20,AB=OC=12,
∴OB===16,
∴OM===,
在Rt△OCM中,
CM===,
∵BM=BC﹣CM=20﹣=,
∴CE﹣BD=(EM﹣CM)﹣(DM﹣BM)=BM﹣CM=﹣=.
故答案为:.
14.【解答】解:根据题意画出平移后的图形,如图所示:
设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D,连接OD,OA,AD,
过O作OE⊥AD,可得E为AD的中点,
∵平移前圆O与AC相切于A点,
∴OA⊥A′C,即∠OAA′=90°,
∵平移前圆O与AC相切于A点,平移后圆O与A′B′相切于D点,
即A′D与A′A为圆O的两条切线,
∴A′D=A′A,又∠B′A′C′=60°,
∴△A′AD为等边三角形,
∴∠DAA′=60°,AD=AA′=A′D,
∴∠OAE=∠OAA′﹣∠DAA′=30°,
在Rt△AOE中,∠OAE=30°,AO=2,
∴AE=AO•cos30°=,
∴AD=2AE=2,
∴AA′=2,
则该直角三角板平移的距离为2.
故答案为:2.
[来源:Z。xx。k.Com]
15.【解答】解:连接OA、OB,如下图所示:
∵PA、PB为圆的两条切线,
∴由切线长定理可得:PA=PB,
同理可知:DA=DC,EC=EB;
∵OA⊥PA,OA=5,PO=13,
∴由勾股定理得:PA=12,
∴PA=PB=12;
∵△PDE的周长=PD+DC+CE+PE,DA=DC,EC=EB;
∴△PDE的周长=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24,
故此题应该填24cm.
16.【解答】解:过B作BD⊥AC于D,
∵AB=BC,
∴AD=CD=AC=5,
∵S△ABC=60,
∴,即,
BD=12,
∵AF⊥CE,
∴∠AFC=90°,
∴F在以AC为直径的圆上,
∵BF+DF>BD,且DF=DF',
∴当F在BD上时,BF的值最小,
此时BF'=12﹣5=7,
则BF的最小值是7,
故答案为:7.
17.【解答】解:连接OB、OC,连接AO并延长交BC于H,
则AH⊥BC,BH=CH.
∵△ABC是等边三角形,OB=OA=1,
∴BH=OB,
∴BH=CH=,
∴BC=,
∴S△ABC=•()2=,
∴S阴=π•12﹣=π﹣,
故答案为π﹣.
18.【解答】解:如图,连接OD、OA、OC、OB、OE.
∵OA=OA,OD=OC,AD=AC,
∴△OAD≌△OAC,
∴∠OAC=∠OAD=∠CAD=60°,
同法可证:∠OBC=∠OBE=∠ABE=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴当OC⊥AB时,OC的长最短,此时OC=OA•sin60°=3,
故答案为3.
三.解答题(共7小题)
19.【解答】解:(1)如图;
(2)△ACO是直角三角.
理由如下:
∵A(﹣3,1),C(1,3),
∴OA==,OC==,AC==2,
∵OA2+OC2=AC2,
∴△AOC是直角三角形,∠AOC=90°.
20.【解答】解:(1)AB=AC.
理由是:连接AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
又∵DC=BD,
∴AB=AC;
(2)连接OD、过D作DH⊥AB.
∵AB=8,∠BAC=45°,
∴∠BOD=45°,OB=OD=4,
∴DH=2
∴△OBD 的面积=
扇形OBD的面积=,阴影部分面积=.
21.【解答】(1)解:∵AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,
∴AB⊥AP,
∴∠BAP=90°;
又∵∠P=35°,
∴∠AB=90°﹣35°=55°.
(2)证明:如图,连接OC,OD、AC.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴∠ACP=90°;
又∵D为AP的中点,
∴AD=CD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半);
在△OAD和△OCD中,
,
∴△OAD≌△OCD(SSS),
∴∠OAD=∠OCD(全等三角形的对应角相等);
又∵AP是⊙O的切线,A是切点,
∴AB⊥AP,
∴∠OAD=90°,
∴∠OCD=90°,即直线CD是⊙O的切线.
22.【解答】(1)证明:延长AD交⊙O于点F,连接BF.
∵AF为⊙O的直径,
∴∠ABF=90°,
∴∠AFB+∠BAD=90°,
∵∠AFB=∠ACB,
∴∠ACB+∠BAD=90°.
(2)证明:如图2中,过点O作OH⊥AC于H,连接BO.
∵∠AOB=2∠ACB,
∠ADC=2∠ACB,
∴∠AOB=∠ADC,
∴∠BOD=∠BDO,
∴BD=BO,
∴BD=OA,
∵∠BED=∠AHO,∠ABD=∠AOH,
∴△BDE≌△AOH,(AAS),
∴DE=AH,
∵OH⊥AC,
∴AH=CH=AC,
∴AC=2DE=4,
∴DE=2.
23.【解答】(1)证明:连接BI.
∵点I是△ABC的内心,
∴∠BAI=∠CAI,∠ABI=∠CBI.
又∵∠DBI=∠CBI+∠DBC,∠DIB=∠ABI+∠BAI,[来源:学科网ZXXK]
∠DBC=∠DAC=∠BAI,
∴∠DBI=∠DIB,
∴DI=DB.
(2)∵∠DBC=∠DAC=∠BAI,∠ADB=∠BDA,
∴△BDE∽△ABD,
∴,
即BD2=DE•AD=DE•(AE+DE)=4×(6+4)=40,
DI=BD=(cm).
24.【解答】解:连接OD,
∵正方形的边长为1,即OC=CD=1,
∴OD=,
∴AC=OA﹣OC=﹣1,
∵DE=DC,BE=AC,弧BD=弧AD
∴S阴=长方形ACDF的面积=AC•CD=﹣1.
25.【解答】(1)证明:∵∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E,
∴∠EAB=∠CAB,∠EBA=∠CBA,
∴∠AEB=180°﹣(∠EAB+∠EBA)=180°﹣(∠CAB+∠CBA)=180°﹣(180°﹣∠BCA)=120°,
∴∠DEB=60°,
由圆周角定理得,∠BDA=∠BCA=60°,
∴△BED为等边三角形;
(2)∵∠ADC=30°,∠BDA=60°,
∴∠BDC=90°,
∴BC是⊙O的直径,即BC=4,
∵AE平分∠BAC,
∴=,
∴BD=DC=4.