圆单元达标测试
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是B
A．75° B．70° C．65° D．35°
,第1题图) ,第3题图)
,第6题图) ,第7题图)
2．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是A
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为C
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是A
A．10 B．20 C．10π D．20π
5．已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝25°，则劣弧的长为C
A. B. C. D.
6．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为A
A．40° B．50° C．60° D．70°
7．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8 cm，AE＝2 cm，则OF的长是D
A．3 cm B. cm C．2.5 cm D. cm
8．如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD.若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是B
A．2 B. C. D.
,第8题图) ,第9题图)
,第10题图)
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是C
A．18＋36π B．24＋18π C．18＋18π D．12＋18π
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为A
A．(－2，3) B．(－3，2) C．(3，－2) D．(2，－3)
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝60°.
,第11题图) ,第13题图) ,第14题图)
12．已知圆锥的底面圆半径为3 cm、高为4 cm，则圆锥的侧面积是15π cm2.
13．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝60度．
14．在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为40 cm.
15．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝2.
,第15题图) ,第16题图) ,第17题图) ,第18题图)
16．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的两边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是72度．
17．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1∶r2＝∶2.
18．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为3或4.
点拨：如图①中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x.
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2＋PB2，∴x2＝42＋(8－x)2，∴x＝5，∴PC＝5，BP＝BC－PC＝8－5＝3.如图②中，当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，PB＝＝4.
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，AB＝8，AC＝2，求⊙O半径的长．
解：连接OA，连接OC交AB于D.设⊙O的半径为r.∵＝，∴OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝4，在Rt△ACD中，CD＝＝2，在Rt△ADO中，∵OA2＝AD2＋OD2，∴r2＝(r－2)2＋16，解得r＝5.∴⊙O的半径为5.
20．(8分)如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．参考公式：圆锥的侧面积S＝πrl，其中r为底面半径，l为母线长．
解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则πl＝2πr，∴l＝2r，∴母线与高的夹角的正弦值＝＝，∴母线AB与高AO的夹角30°.
21．(8分)如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC.
(1)求证：AE＝ED；
(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED.
(2)∵OC⊥AD，∴＝，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴＝＝2π.
22．10分 已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°.
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
解：(1)证明：∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°，∴∠BAD＝120°，连接OA，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°，∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°，∴OA⊥AD.∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线．
(2)∵∠AEC＝30°，∴∠AOC＝60°.∵BC⊥AE于M，∴AE＝2AM，∠OMA＝90°.在Rt△AOM中，AM＝OAsin∠AOM＝4sin60°＝2，∴AE＝2AM＝4.
23．(10分)如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的点，＝，弦CD交AB于点E.
(1)当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；
(2)求证：BC2－CE2＝CE·DE.
证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠BAD＋∠ABD＝90°.∵PB是⊙O的切线，∴∠ABP＝90°，即∠PBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠PBD.
(2)∵＝，∴∠ABC＝∠BDC，而∠ECB＝∠BCD，BC＝CB，∴△BCE∽△DCB，∴BC2＝CE·CD，∴BC2－CE2＝CE·CD－CE2＝CE(CD－CE)＝CE·DE.
24．(10分)如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD(AE＜BD)的长是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个实数根．
(1)求证：PA·BD＝PB·AE；
(2)在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．
解：(1)证明：∵DP平分∠APB，∴∠APE＝∠BPD.∵AP与⊙O相切，∴∠BAP＝∠BAC＋∠EAP＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BAC＋∠B＝90°，∴∠EAP＝∠B，∴△PAE∽△PBD，∴＝，∴PA·BD＝PB·AE.
(2)过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，∵DP平分∠APB，AD⊥AP，DF⊥PB，∴AD＝DF.∵∠EAP＝∠B，∴∠APC＝∠BAC，易证DF∥AC，∴∠BDF＝∠BAC，由于AE，BD(AE＜BD)的长是x2－5x＋6＝0，解得AE＝2，BD＝3，∴由(1)可知：＝，∴cos∠APC＝＝，∴cos∠BDF＝cos∠APC＝，∴＝，∴DF＝2，∴DF＝AE，∴四边形ADFE是平行四边形．∵AD＝DF，∴四边形ADFE是菱形，此时点F即为点M.∵cos∠BAC＝cos∠APC＝，∴sin∠BAC＝，∴＝，∴DG＝，∴在线段BC上存在一点M，使得四边形ADME是菱形，其面积为DG·AE＝2×＝.
25．(12分)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)求证：2DE2＝CD·OE；
(3)若tanC＝，DE＝，求AD的长．
解：(1)DE是⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.∵OE∥AC，OA＝OB，∴BE＝CE，∴DE＝BE＝CE，∴∠DBE＝∠BDE.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODE＝∠OBE＝90°.∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．
(2)∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，
∴＝，∴BC2＝CD·AC，由(1)知DE＝BE＝CE＝BC，∴4DE2＝CD·AC，由(1)知，OE是△ABC是中位线，∴AC＝2OE，∴4DE2＝CD·2OE，∴2DE2＝CD·OE.
(3)∵DE＝，∴BC＝5，在Rt△BCD中，tanC＝＝，设CD＝3x，BD＝4x，根据勾股定理得，(3x)2＋(4x)2＝25，∴x＝－1(舍)或x＝1，∴BD＝4，CD＝3，由(2)知，BC2＝CD·AC，∴AC＝＝，∴AD＝AC－CD＝－3＝.
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