章末复习(四) 圆
01 分点突破
知识点1 垂径定理
1．(黄冈中考)如图，M是CD的中点，EM⊥CD.若CD＝4，EM＝8，则所在圆的半径为．
知识点2 圆心角、圆周角定理
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是(B)
A．45° B．85°
C．90° D．95°
3．如图，在⊙O中，弦AC＝2，点B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的半径R＝．
知识点3 三角形的外接圆
4．(贵阳中考)小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为(B)
A．2 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
知识点4 点、直线和圆的位置关系
5．(宜昌中考)在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，
F，G，H四棵树中需要被移除的为(A)
A．E，F，G
B．F，G，H
C．G，H，E
D．H，E，F
6．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝AC＝10，以点C为圆心，分别以5，5和8为半径作圆，那么直线AB与这三个圆的位置关系分别是相离、相切、相交．
知识点5 切线的性质与判定
7．(湖州中考)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是(B)
A．25°
B．40°
C．50°
D．65°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．
解：(1)DE与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵AO＝BO，BD＝DC，
∴OD是△BAC的中位线．
∴OD∥AC.
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD.
∴DE为⊙O的切线．
(2)∵AO＝3，∴AB＝6.
又∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝6，AD＝3.
∵S△ADC＝·AC·DE＝AD·DC，
∴AC·DE＝CD·AD.
∴6·DE＝3×3，解得DE＝.
知识点6 切线长定理及三角形的内切圆
9．《九章算术》中“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思为：今有直角三角形，勾(短直角边)长为7步，股(长直角边)长为24步，问该直角三角形(内切圆)的直径是多少？(C)
A．4步 B．5步
C．6步 D．8步
10．如图，直线AB，CD，BC分别与⊙O相切于B，F，G，且AB∥CD.若OB＝6 cm，OC＝8 cm，则BE＋CG的长等于(D)
A．13 cm B．12 cm
C．11 cm D．10 cm
知识点7 正多边形和圆
11．如图，等边△EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为(C)
A. B.
C．4 D．5
知识点8 弧长、扇形面积
12．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD.若∠BOD＝∠BCD，则的长为(C)
A．π B.π C．2π D．3π
13．(怀化中考)如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB＝90°，则阴影部分的面积为π－2．
1．连半径—构造等腰三角形(如图1)(如T8)
图1 图2 图3
2．过圆心作弦的垂线段—构造直角三角形(涉及弦长、半径或圆心到弦的距离(如图2))(如T16)
3．连接弦或半径—角度转化(通过同弧或等弧找到一些相等的角进行转化(如图3))(如T20)
4．见直径，连直角；遇直角，作直径(如图4)
图4 图5 图6 图7
5．遇切线，连半径，得垂直(如图5 )(如T10)
6．判定直线与圆相切：(1)连半径证垂直；(2)作垂直证半径(如图6，7 )(如T21)
02 山西中考题型演练
14．(山西中考百校联考三)如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为(B)
A．40° B．50°
C．80 ° D．90°
15．(宁波中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2，以BC的中点O为圆心的⊙O分别与AB，AC相切
于D，E两点，则的长为(B)
A. B.
C．π D．2π
16．(西宁中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(C)
A.
B．2
C．2
D．8
17．(山西中考)如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是(B)
A.－
B.－
C．π－
D．π－
18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为22.5°．
19．(株洲中考)如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM＝80°．
20．(天津中考)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.
(1)如图1，求∠T和∠CDB的大小；
(2)如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．
解：(1)连接AC，
∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°.
∵∠ABT＝50°，
∴∠T＝90°－∠ABT＝40°.
由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，
∴∠CDB＝∠CAB＝40°.
(2)连接AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，
∴∠BCE＝∠BEC＝65°.
∴∠BAD＝∠BCD＝65°.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝65°.
∵∠ADC＝∠ABC＝50°，
∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.
21．如图，AB是⊙O的直径，E为弦AP上一点，过点E作EC⊥AB于点C，延长CE至点F，连接FP，使∠FPE＝∠FEP，CF交⊙O于点D.
(1)证明：FP是⊙O的切线；
(2)若四边形OBPD是菱形，证明：FD＝ED.
证明：(1)连接OP，
∵OP＝OA，
∴∠A＝∠APO.
∵EC⊥AB，
∴∠A＋∠AEC＝90°.
∵∠FPE＝∠FEP，∠FEP＝∠AEC，
∴∠AEC＝∠FPE.
∴∠OPA＋∠FPA＝90°.
∴OP⊥PF.
∵OP为⊙O的半径，
∴FP是⊙O的切线．
(2)∵四边形OBPD是菱形，
∴PD∥AB，PB＝OB.
∵OB＝OP，
∴OP＝OB＝PB.
∴△OPB是等边三角形．
∴∠B＝∠BOP＝60°.
∴∠A＝30°.
∴∠AEC＝∠FEP＝60°.
∴∠FPE＝∠FEP＝60°.
∴△FPE是等边三角形．
∵PD∥AB，
∴PD⊥EF.
∴FD＝ED.
03 数学文化、核心素养专练
22．“割圆术”是求圆周率的一种算法，公元263年左右，我国一位著名的数学家发现当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．请问上述著名数学家为(A)
A．刘徽 B．祖冲之
C．杨辉 D．秦九昭
23．如图，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、a为半径画弧，求图中阴影面积．阴影部分是两个扇形(扇形正好是四分之一个圆)相交的部分，阴影的面积不能直接算，可用面积相减的方法求出，这体现了一种数学思想，该数学思想是(C)
A．整体思想
B．分类讨论思想
C．转化思想
D．数形结合思想
24．(山西一模)阅读与思考：
婆罗摩笈多(Brahmagupta)是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍．他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国的《九章算术》，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理．该定理的内容及部分证明过程如下：
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CN＝DN.
证明：在△ABP和△BMP中，
∵AC⊥BD，PM⊥AB，
∴∠BAP＋∠ABP＝90°，
∠BPM＋∠MBP＝90°.
∴∠BAP＝∠BPM.
∵∠DPN＝∠BPM，∠BAP＝∠BDC，
∴……
(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分；
(2)已知：如图2，△ABC内接于⊙O，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2.点D在⊙O上，∠BCD＝60°，连接AD，与BC交于点P，作PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，则PN的长为1．
解：(1)证明：∵∠DPN＝∠BPM，∠BAP＝∠BDC，
∴∠DPN＝∠PDN.
∴DN＝PN.
同理：CN＝PN.
∴CN＝DN.
(2)∵∠ACB＝45°，∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝45°＋60°＝105°.
又∵∠D＝∠B＝30°，
∴∠DAC＝180°－∠ACD－∠D＝45°.
∴∠APC＝180°－45°－45°＝90°，
△APC是等腰直角三角形．
∴PA＝PC，∠CPD＝90°.
在△CPD和△APB中，
∴△CPD≌△APB(AAS)．
∴CD＝AB＝2.
∵∠CPD＝90°，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，
∴同(1)得：CN＝DN.
∴PN＝CD＝1.
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