24．1圆（第一课时）
24.1.1圆
◆随堂检测
1、_____确定圆的位置,________确定圆的大小.
2、已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（ ）
A、5 B、4 C、3 D、2
3、经过A、B两点的圆有几个？它们的圆心都在哪里？
4、如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，D是AC的中点，，求OD的长.
◆典例分析
圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？
分析:题目中说到最大距离和最小距离，我们首先想到的就是直径，然后过点P做圆的直径，得到圆的半径.通常情况下，我们进行的都是在圆内的有关计算，这逐渐成为一种习惯，使得我们一看到题首先想到的就是圆内的情况，而忽略了圆外的情况，所以经常会出现漏解的情况.这也是本题想要提醒大家的地方.
解:如图所示,分两种情况:
(1)当点P为圆O内一点，过点P作圆O直径，分别交圆O于A，B，由题意可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则AP=2，BP=10，所以圆O的半径为.
(2)当点P在圆外时，作直线OP，分别交圆O于A，B，由题可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则BP=10，AP=2，所以圆O的半径.
综上所述，所求圆的半径为6或4.
◆课下作业
●拓展提高
1、如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，那么，哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧
2、下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3、P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．
4、求证矩形四个顶点在以对角线交点为圆心的同一个圆上．
- 7 -
5、证明对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上.
1、（2009年,内江）下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（ ）
B
A
．
O
2、（2008年，河北）如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．1圆（第二课时）
24．1．2垂直于弦的直径
◆随堂检测
1、如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）
A、CE=DE B、 C、∠BAC=∠BAD D、ACAD
1题 2题 3题 4题
2、如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A、4 B、6 C、7 D、8
3、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备_________cm内径的管道（内径指内部直径）．
4、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求：⊙O的半径.
◆典例分析
已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，求BC边上的高.
O
C
B
A
C
B
A
O
分析：等腰△ABC的三个顶点都在圆上，底边BC的位置可以有两种可能，即点A在弦BC所对的优弧或劣弧上.注意不能只考虑圆心在△ABC内部的情况.
解：作AD⊥BC，则AD即为BC边上的高.设圆心O到BC的距离为d，则依据垂径定理得BC=4,d2=52-42=9，所以d=3.
当圆心在三角形内部时BC边上的高为5+3=8；
- 7 -
当圆心在三角形内外部时BC边上的高为5-3=2.
●拓展提高
1、如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
A、AB⊥CD B、∠AOB=4∠ACD C、 D、PO=PD
3、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm.若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？
4、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
5、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
A
O
C
B
D
5
●体验中考
1、(2009年，牡丹江市)如图，一条公路的转变处是一段圆弧（图中的），
点是这段弧的圆心，是上一点，，垂足为，
则这段弯路的半径是_________m．
- 7 -
24．1 圆（第三课时）
24.1.3弧、弦、圆心角
◆随堂检测
1、如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______．（只需写一个正确的结论）
2、如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=35°，求∠AOE的度数．
OC
CCCCCCCCCCCCCCC
B
A
3、如图,在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
◆典例分析
已知A,B,C,D为圆O上的四点，且=2,问AB与2CD的关系是否相等?
分析：本题如果凭空想象，跟着感觉走,极可能得出AB=2CD的错误结论.本题需要深刻理解弧和线段的不同，需要画图分析.
解：如图,∵E为的中点,∴==.∴CD=AE=BE.
∵2CD=2AE=2BE=AE+BE，
又∵在△AEB中，AB＜AE+BE，∴AB＜2CD.
◆课下作业
●拓展提高
1、如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，_______________．
（2）如果,那么____________，_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，___________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
2、在同圆中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ ）
- 7 -
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 （注意：本题是在同圆的大前提下）
3、如图，已知AB和CD是⊙O的两条弦，，求证：AB=CD.
5、如图MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
5、在中若弦AB的长等于半径，求弦AB所对的弧所对的圆周角的度数.
●体验中考
1、（2009年，安徽）如图，将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为__________.
2、（2009年，湖南长沙）如图，已知的半径，，则O
B
A
所对的弧的长为（ ）
A、 B、 C、 D、
- 7 -
O
C
B
A
24.1圆（第四课时）
24.1.4圆周角
◆随堂检测
1、如图，点都在上，若，则的度数为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°,则∠DCF等于（ ）
A、80° B、50° C、40° D、20°
A
O
B
D
C
3、如图，是的直径，点是圆上两点，，则_______.
4、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD
的大小有什么关系？为什么？
◆典例分析
A，B是圆O上的两点，，C是圆O上不与A、B重合的任一点，求的度数是多少？
分析：由于的度数一定，所以我们常常会认为点C在圆O上任意一点时，的度数都是相等的.其实,这是没有看透题目的本质，所以导致解题过程出现漏洞.本题中,，所以对应的劣弧的度数为，对应的优弧的度数应为.所以应有两解才对.
解：分两种情况:
（1）当C点在劣弧AB上时，如图所示，A，B是圆O上两点，，所以弧AB的度数为，优弧AOB的度数为，又因为的度数是优弧AOB的度数的一半，所以.
A
B
C
O
（2）当点C在优弧ADB上时，==.
综上所述为或.
1、如图，是的外接圆，已知，则的大小为（ ）
A、 B、 C、 D、
- 7 -
2、如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点
C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A、45° B、60° C、75° D、90°
3、如图，内接于是的直径，，则______.
A
D
B
O
C
4、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，求圆心O到弦AD的距离．
B
A
C
O
D
5、如图,∆ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AD=6,求BC的长.
O
D
C
B
A
●体验中考
1、(2009，宁夏)如图，为的直径，交于点，
交于点．（1）求的度数；（2）求证：．
A
D
F
C
M
E
B
N
2、（2009，荆门市）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：A、E、C、F四点共圆；
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND．
- 7 -
微信/支付宝扫码支付