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2.5 逆命题和逆定理
A 组
1．下列说法中，正确的是(A)
A． 每一个命题都有逆命题
B． 假命题的逆命题一定是假命题
C． 每一个定理都有逆定理
D． 假命题没有逆命题
2．下列命题的逆命题为真命题的是(C)
A． 直角都相等
B． 钝角都小于 180°
C． 若 x2＋y2＝0，则 x＝y＝0
D． 同位角相等
3．下列定理中，有逆定理的是(D)
A． 对顶角相等
B． 同角的余角相等
C． 全等三角形的对应角相等
D． 在一个三角形中，等边对等角
(第 4 题)
4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A)
A． AB 垂直平分 CD
B． CD 垂直平分 AB
C． AB 与 CD 互相垂直平分
D． CD 平分∠ACB
5．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，若是假命题，请举出反例．
(1)若 x＝y＝0，则 x＋y＝0．
(2)等腰三角形的两个底角相等．
【解】 (1)逆命题：若 x＋y＝0，则 x＝y＝0．这个逆命题是假命题．反例：当 x＝－
1，y＝1 时，x＋y＝0，但 x≠0，y≠0．
(2)逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．
6．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．
(1)相等的角是内错角．
(2)两直线平行， 同旁内角互补．
【解】 (1)“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是
假命题，不是互逆定理．
(2)“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，原命
题和逆命题是互逆定理．2
(第 7 题)
7．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．
已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点 E 在 AD 上．求证：EB＝EC．
【解】 连结 BC．
∵AB＝AC，∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上．
∵DB＝DC，∴点 D 在线段 BC 的垂直平分线上．
∴AD 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线)．
又∵点 E 在 AD 上，∴EB＝EC．
B 组
8．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的
逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．
【解】 逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂
直．
原命题是假命题．
反例：如解图①，∠CAD 的两边与∠EBF 的两边分别垂直，但∠CAD＝45°，∠EBF＝
135°，即∠CAD≠∠EBF．
(第 8 题解)
逆命题是假命题．
反例：如解图②，∠CAD＝∠EBF，但显然 AC 与 BE，BF 都不垂直．
9．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命
题是真命题．
【解】 逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形
是等腰三角形．
已知：如解图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DE＝
DF．3
(第 9 题解)
求证：△ABC 为等腰三角形．
证明：连结 AD．
∵D 是 BC 的中点，
∴S△ABD＝S△ACD．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴S△ABD＝
1
2AB·DE，
S△ACD＝
1
2AC·DF．
又∵DE＝DF，∴AB＝AC，
∴△ABC 为等腰三角形．
10．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．
【解】 逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．
反例：如解图所示，l1∥l2，△ABC 和△BCD 同底等高，
∴△ABC 的面积等于△BCD 的面积，但△ABC 和△BCD 不全等．
故该定理没有逆定理．
(第 10 题解)
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11．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判
断该逆命题的真假，并证明．
【解】 逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．是真
命题．
(第 11 题解)
已知：如解图，在△ABC 中，BD＝CD，AD 平分∠BAC．
求证：△ABC 是等腰三角形．
证明：延长 AD 至点 E，使 DE＝AD，连结 BE，CE．
∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA，4
∴△BDE≌△CDA(SAS)．
∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD．
∵AD 平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．
∴∠BAD＝∠BED．∴AB＝BE．∴AB＝AC．
∴△ABC 是等腰三角形．
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