1
2.3 等腰三角形的性质定理(一)
A 组
1．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为(C)
A． 36° B． 60° C． 72° D． 108°
(第 1 题)
(第 2 题)
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则∠CBD
的度数为(B)
A． 30° B． 45° C． 50° D． 75°
3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，过点 A 作 AD∥BC．若∠1＝70°，则∠BAC 的度数为(A)
A． 40° B． 30° C． 70° D． 50°
(第 3 题)
(第 4 题)
4．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB 的平分线 BD，CE 交于点 O，且 BD 交 AC
于点 D，CE 交 AB 于点 E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；
③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是(D)
A． ①②③ B． ②③④
C． ①③⑤ D． ①③④2
(第 5 题)
5．如图，在△ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 BC 上一点，且 AC＝CD＝BD＝BE．若∠A＝
50°，则∠CDE 的度数为(D)
A． 50° B． 51°
C． 51．5° D． 52．5°
(第 6 题)
6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD 的度数．
【解】 ∵AB＝AC，∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠A＝36°．
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°－36°＝54°．
(第 7 题)
7．如图，将△ADE 沿 DE 折叠，点 A 恰好落在 BC 边上的点 A′处．若 D 为 AB 边的中点，∠
B＝50°，求∠BDA′的度数．
【解】 ∵D 是 AB 的中点，
∴BD＝AD．
由折叠的性质，得 A′D＝AD，∴BD＝A′D．
∴∠BA′D＝∠B＝50°．
∵∠B＋∠BA′D＋∠BDA′＝180°，
∴∠BDA′＝180°－∠B－∠BA′D＝80°．
(第 8 题)
8．如图，在△ABC 中，已知 AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC 的度数．
【解】 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．3
同理，∠ADE＝∠AED．
设∠EDC＝α，∠C＝β，
则∠ADE＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝α＋β，
∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝α＋β＋α＝2α＋β．
∵∠ADC＝∠BAD＋∠B＝28°＋β，
∴2α＋β＝28°＋β，∴α＝14°，即∠EDC＝14°．
B 组
(第 9 题)
9．如图，在△PAB 中，PA＝PB，M，N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AM＝BK，BN＝
AK．若∠MKN＝44°，则∠P 的度数为(D)
A． 44° B． 66° C． 88° D． 92°
【解】 ∵PA＝PB，∴∠A＝∠B．
在△AMK 和△BKN 中，∵{AM＝BK，
∠A＝∠B，
AK＝BN，
∴△AMK≌△BKN(SAS)．∴∠AMK＝∠BKN．
∵∠MKB＝∠MKN＋∠BKN＝∠A＋∠AMK，
∴∠A＝∠MKN＝44°，
∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°．
10．如图，已知 AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…．若∠A＝70°，则∠
Bn－1AnAn－1 的度数为(C)
(第 10 题)
A． (70
2n )° B． ( 70
2n＋1 )° C． ( 70
2n－1 )° D． ( 70
2n＋2 )°
【解】 在△ABA1 中，∵∠A＝70°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝∠A＝70°．
∵A1A2＝A1B1，∠BA1A 是△A1A2B1 的外角，
∴∠B1A2A1＝
∠BA1A
2 ＝35°．
同理，∠B2A3A2＝
1
2∠B1A2A1＝
∠BA1A
22 ，∠B3A4A3＝
1
2∠B2A3A2＝
∠BA1A
23 ，…，4
∴∠Bn－1AnAn－1＝
∠BA1A
2n－1 ＝( 70
2n－1 )°．
11．如图，在△ABC 中，分别以 AC，BC 为边作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，连结
AE，BD 交于点 O，求∠AOB 的度数．
(第 11 题)
【解】 设 AC 与 BD 交于点 H．
∵△ACD，△BCE 都是等边三角形，
∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCB＝∠ACE，
∴△DCB≌△ACE(SAS)，
∴∠CDB＝∠CAE．
又∵∠DCH＋∠DHC＋∠CDB＝180°，
∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，
∠DHC＝∠AHO，
∴∠AOH＝∠DCH＝60°．
∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°．
12．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD，CE 是△ABC 的两条高线，BD 与 CE 相交于点 O．
(1)求证：OB＝OC．
(2)若∠ABC＝70°，求∠BOC 的度数．
(第 12 题)
【解】 (1)∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵BD，CE 是△ABC 的两条高线，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°．
又∵BC＝CB，
∴△BEC≌△CDB(AAS)，
∴BE＝CD．
又∵∠BOE＝∠COD，∠BEO＝∠CDO＝90°，
∴△BOE≌△COD(AAS)，
∴OB＝OC．
(2)连结 DE．
∵∠ABC＝70°，AB＝AC，
∴∠A＝180°－2×70°＝40°．5
∵∠A＋∠AED＋∠ADE＝180°，∠OED＋∠ODE＋∠DOE＝180°，
∴∠A＋∠AEO＋∠ADO＋∠DOE＝360°．
又∵∠AEO＝∠ADO＝90°，
∴∠A＋∠DOE＝180°，
∴∠BOC＝∠DOE＝180°－40°＝140°．
(第 13 题)
13．如图，在△ABC 中，已知 BC＝AC，∠BAC 的外角平分线交 BC 的延长线于点 D．若∠ADC
＝
1
2∠CAD，求∠ABC 的度数．
(第 13 题解)
【解】 如解图，设∠ABC＝x，∠CAD＝y，
则∠ACD＝2x，∠ADC＝
1
2∠CAD＝
1
2y，
∴{x＋2y＝180°，
2x＋
3
2y＝180°，解得{x＝36°，
y＝72°. ∴∠ABC＝36°．
数学乐园
14．(1)已知在△ABC 中，∠A＝90°，∠B＝67．5°，请画一条直线，把这个三角形分
割成两个等腰三角形(请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需
画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)．
(2)已知在△ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点 B 的一条直线把这个三角形分割成了
两个等腰三角形，请探求∠ABC 与∠C 之间的关系．
(第 14 题)
导学号：91354010
【解】 (1)如解图①②(共有 2 种不同的分割法)．
(第 14 题解)6
(第 14 题解③)
(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点 B 的直线交边 AC 于点 D．
在△DBC 中，
①若∠C 是顶角，如解图③，则∠CBD＝∠CDB＝90°－
1
2x，∠A＝180°－x－y．
故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋
1
2x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，
即 180°－x－y＝y－(90°－
1
2x)，
∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－
3
4∠C．
②若∠C 是底角，
第一种情况：如解图④，当 DB＝DC 时，∠DBC＝x．在△ABD 中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y
－x．
若 AB＝AD，则 2x＝y－x，此时有 y＝3x，
∴∠ABC＝3∠C．
若 AB＝BD，则 180°－x－y＝2x，此时有 3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C．
若 AD＝BD，则 180°－x－y＝y－x，此时有 y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C 为小于 45°
的任意锐角．
, ④) , ⑤)
(第 14 题解)
第二种情况：如解图⑤，当 BD＝BC 时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能
有 AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝
1
2∠BDC＝
1
2∠C＜∠C，这与题设∠C 是最小角矛盾．
∴当∠C 是底角时，BD＝BC 不成立．
综上所述，∠ABC 与∠C 之间的关系是∠ABC＝135°－
3
4∠C 或∠ABC＝3∠C 或∠ABC＝
180°－3∠C 或∠ABC＝90°(∠C 是小于 45°的任意锐角)．
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