1
第 2 章自我评价
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．在下列标志中，属于轴对称图形的是(B)
2．下列四组线段能构成直角三角形的是(D)
A． a＝1，b＝2，c＝3 B． a＝2，b＝3，c＝4
C． a＝2，b＝4，c＝5 D． a＝3，b＝4，c＝5
3．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相
等；④等边对等角．其中逆命题是真命题的有(B)
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
4．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2 的度数是(C)
A．20° B．35°
C．40° D．70°
(第 4 题)
(第 5 题)
5．如图，已知 OP 平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB
于点 E．如果 M 是 OP 的中点，那么 DM 的长是(C)
A． 2 B． 2
C． 3 D． 2 32
(第 6 题)
6．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点 A 为圆心，任意长为半径画弧，
分别交 AB，AC 于点 M 和 N，再分别以点 M，N 为圆心，大于
1
2MN 长为半径画弧，两弧交于点
P，连结 AP 并延长，交 BC 于点 D，则下列说法中，正确的个数是(D)
①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC＝60°；③点 D 在 AB 的中垂线上；④S△DAC∶S△ABC＝
1∶3．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
7．如图，将一把含 45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上．另一
个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边与纸带的一边所在的直线成 30°角，则三
角尺的最大边长为(D)
A． 3 cm B． 6 cm
C． 18 cm D． 72 cm
(第 7 题)
(第 7 题解)
【解】 如解图，过点 C 作 CD⊥AD 于点 D，
则 CD＝3 cm．
在 Rt△ADC 中，
∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6(cm)．
∵该三角尺是含 45°角的三角尺，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC＝6 cm，
∴BC＝ AB2＋AC2＝ 62＋62＝ 72(cm)．
(第 8 题)3
8．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，则∠B 的度数为(C)
A．22．5° B．30°
C．36° D．45°
【解】 设∠B＝x．
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x．
∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x．
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x．
∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x．
在△ABD 中，∵∠B＝x，∠ADB＝∠BAD＝2x，
∴x＋2x＋2x＝180°，解得 x＝36°，即∠B＝36°．
9．如图，等边三角形 ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是线段 AD 上的动点，E
是 AC 边上一点．若 AE＝2，当 EF＋CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为(C)
A．20° B．25° C．30° D．45°
(第 9 题)
(第 9 题解)
【解】 如解图，过点 E 作 EM∥BC，交 AB 于点 M，
则∠AME＝∠B，∠AEM＝∠ACB．
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝4．
∴∠AME＝∠AEM＝60°．∴AM＝AE＝2．
∴BM＝AB－AM＝2．
∵AD 是 BC 边上的中线，∴AD⊥BC．4
∵EM∥BC，∴AD⊥EM．
∴点 E 和点 M 关于 AD 对称．
连结 CM 交 AD 于点 F，连结 EF，
则此时 EF＋CF 的值最小．
∵AC＝BC，AM＝BM，
∴∠ECF＝
1
2∠ACB＝30°．
10．如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于点 E，∠ADC＋∠ABC＝180°，
有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE．其中正确的是(C)
A． ② B． ①②③
C． ①②④ D． ①②③④
导学号：91354016
(第 10 题)
(第 10 题解)
【解】 如解图，在 EA 上取点 F，使 EF＝BE，连结 CF．
∵CE⊥AB，EF＝BE，
∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．
∵∠AFC＋∠CFB＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠D＝∠AFC．
∵AC 平分∠BAD，∴∠DAC＝∠FAC．
在△ACD 和△ACF 中，∵{∠D＝∠AFC，
∠DAC＝∠FAC，
AC＝AC，
∴△ACD≌△ACF(AAS)．
∴AD＝AF，CD＝CF．∴CD＝CB，故①正确．5
AD＋AB＝AF＋(BE＋AE)＝AF＋EF＋AE＝AE＋AE＝2AE，故②正确．
根据已知条件无法证明∠ACD＝∠BCE，
故③错误．
AB－AD＝AB－AF＝BF＝2BE，故④正确．
综上所述，正确的是①②④．
二、填空题(每小题 3 分，共 30 分)
11．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝__30°__．
,(第 11 题)) ,(第 12 题))
12．如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则 BC 边上的高 AD 的长是__8__
cm．
13．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为 E．若∠1＝50°，则∠2 的度数为__40°__．
,(第 13 题)) ,(第 14 题))
14．如图，在△ABC 中，BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，且它们相交于点 O，OE
∥AB，OF∥AC，BC＝10，则△OEF 的周长为__10__．
【解】 ∵OB，OC 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO．
∵OE∥AB，OF∥AC，
∴∠ABO＝∠BOE，∠ACO＝∠COF，
∴∠CBO＝∠BOE，∠BCO＝∠COF，
∴BE＝OE，OF＝FC，
∴△OEF 的周长＝OE＋EF＋OF＝BE＋EF＋FC＝BC＝10．
(第 15 题)
15．如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝__52°
__．6
【解】 ∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C．
设∠ADC＝α，则∠B＝∠BAD＝
α
2 ．
∵∠BAC＝102°，∴∠DAC＝102°－
α
2 ．
∵∠ADC＋∠C＋∠DAC＝180°，
∴2α＋102°－
α
2 ＝180°，
解得 α＝52°，即∠ADC＝52°．
16．如图，已知△ABC 的周长是 21，BO，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC，垂足为
D，且 OD＝3，则△ABC 的面积是__
63
2 __．
, (第 16 题)) , (第 16 题解))
【解】 如解图，过点 O 作 OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为 E，F，连结 OA．
由角平分线的性质知 OD＝OE＝OF，
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝
1
2AB·OE＋
1
2BC·OD＋
1
2AC·OF＝
1
2(AB＋BC＋AC)·OD＝
1
2
×21×3＝
63
2 ．
17．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是
__
24
5 __．
,(第 17 题)) ,(第 17 题解))
【解】 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，如解图．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BD＝
1
2BC＝3，∴AD＝ AB2－BD2＝4．
易得当 BP⊥AC 时，BP 有最小值．7
此时
1
2AD·BC＝
1
2BP·AC，
得 4×6＝5BP，∴BP＝
24
5 ．
18．如图是两把完全一样的含 30°角的三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将
两把三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为 M，绕中点 M 转动上面的三角尺 ABC，使其
直角顶点 C 恰好落在三角尺 A′B′C′的斜边 A′B′上．当∠A＝30°，AC＝10 时，两直角
顶点 C，C′间的距离是__5__．
(第 18 题)
(第 18 题解)
【解】 如解图，连结 C′C．
∵M 是 AC，A′C′的中点，AC＝A′C′＝10，
∴CM＝A′M＝C′M＝
1
2AC＝5，
∴∠A′CM＝∠A′＝30°，∴∠CMC′＝60°．
∴△MCC′为等边三角形．∴C′C＝CM＝5．
(第 19 题)
19．按如图所示的方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长 AB＝1，第
一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为 S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角
形的面积和为 S2……则第 n 个正方形与第 n 个等腰直角三角形的面积和 Sn＝__
5
2n＋1__．
【解】 易得第一个正方形的面积为 1，
第一个等腰直角三角形的面积为
1
4，8
第二个正方形的面积为
1
2，
第二个等腰直角三角形的面积为
1
2×
1
4，
……
∴第 n 个正方形的面积为(1
2 )n－1
×1＝
1
2n－1，
第 n 个等腰直角三角形的面积为(1
2 )n－1
×
1
4＝
1
2n＋1，
∴第 n 个正方形与第 n 个等腰直角三角形的面积和 Sn＝(1
2 )n－1
＋
1
2n＋1＝
5
2n＋1．
(第 20 题)
20．如图，正方形 ABDE，正方形 CDFI，正方形 EFGH 的面积分别为 25，9，16，△AEH，△
BDC，△GFI 的面积分别为 S1，S2，S3，则 S1＋S2＋S3＝__18__．导学号：91354017
【解】 过点 A 作 AK⊥HE，交 HE 的延长线于点 K．
易得 DE2＝25，DE2＝9，EF2＝16，
∴DE2＝DF2＋EF2，
∴△DEF 是直角三角形，且∠DFE＝90°．
易得∠AEK＋∠DEK＝∠DEK＋∠DEF＝90°，
∴∠AEK＝∠DEF．
又∵AE＝DE，∠K＝∠DFE＝90°，
∴△AEK≌△DEF(AAS)，
∴AK＝DF．
又∵EH＝EF，
∴S△AHE＝
1
2EH·AK＝
1
2EF·DF＝S△DEF．
同理，S△BDC＝S△GFI＝S△DEF，
∴S1＋S2＋S3＝3S△DEF．9
易得 DF＝3，EF＝4，
∴S△DEF＝
1
2×3×4＝6，
∴S1＋S2＋S3＝3×6＝18．
三、解答题(共 40 分)
21．(6 分)如图，AD＝BC，AC＝BD．求证：△EAB 是等腰三角形．
(第 21 题)
【解】 在△ADB 和△BCA 中，
∵{AD＝BC，
BD＝AC，
AB＝BA，
∴△ADB≌△BCA(SSS)，
∴∠DBA＝∠CAB，
∴△EAB 是等腰三角形．
(第 22 题)
22．(6 分)如图，△ABC 为等边三角形，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为 E，F，
D，则△DEF 是等边三角形吗？请说明理由．
【解】 △DEF 是等边三角形．理由如下：
∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，△ABC 为等边三角形，
∴∠A＝60°，∠ADF＝∠CFE＝90°，
∴∠AFD＝30°，
∴∠DFE＝180°－30°－90°＝60°．
同理，∠FDE＝∠DEF＝60°．
∴△DEF 是等边三角形．10
(第 23 题)
23．(8 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 E 在 CA 的延长线上，∠E＝∠AFE，请判断 EF
与 BC 的位置关系，并说明理由．
【解】 EF⊥BC．理由如下：
过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，延长 EF 交 BC 于点 G．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠CAD．
又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∠E＝∠AFE，
∴∠BAC＝2∠E，
∴∠CAD＝∠E，∴AD∥EF．
又∵∠ADC＝90°，∴∠EGC＝90°，即 EF⊥BC．
24．(10 分)已知△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F 为 BE 的中
点，连结 DF，CF．
(1)如图①，当点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，请直接写出此时线段 DF，CF 的数量关系和
位置关系．
(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 45°，请你判断此时(1)中的结
论是否仍然成立，并证明你的判断．
(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°，若 AD＝1，AC＝ 8，求
此时线段 CF 的长(直接写出结果)．
(第 24 题)
【解】 (1)∵∠ACB＝∠ADE＝90°，F 为 BE 的中点，
∴DF＝BF＝
1
2BE，CF＝
1
2BE，∴DF＝CF．11
∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．
∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF．
∵∠DFE＝∠DBF＋∠BDF，
∴∠DFE＝2∠DBF．
同理，∠CFE＝2∠CBF，
∴∠DFE＋∠CFE＝2∠DBF＋2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF⊥CF．
(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：
如解图①，延长 DF 交 BC 于点 G．
∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，
∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．
∵F 为 BE 的中点，∴EF＝BF，
∴△DEF≌△GBF(AAS)，
∴DE＝GB，DF＝GF．
∵AD＝DE，∴AD＝GB．
∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，即 DC＝GC．
∵∠ACB＝90°，∴△DCG 是等腰直角三角形．
∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF．
(第 24 题解)
(3)如解图②，延长 DF 交 BA 于点 H．
∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，AD＝DE，∠AED＝∠ABC＝45°．
由旋转可知∠CAE＝∠BAD＝∠ACB＝90°，
∴AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF．12
∵F 是 BE 的中点，∴EF＝BF．
又∵∠DFE＝∠HFB，
∴△DEF≌△HBF(ASA)，∴ED＝BH．
∵BC＝AC＝ 8，∠ACB＝90°，∴AB＝4．
∵BH＝ED＝AD＝1，∴AH＝3．
∵∠BAD＝90°，∴DH＝ 10，
∴DF＝
10
2 ，∴CF＝
10
2 ．
25．(10 分)问题探究：
(1)如图①，在锐角△ABC 中，分别以 AB，AC 为边向外作等腰三角形 ABE 和等腰三角形
ACD，使 AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连结 BD，CE，试猜想 BD 与 CE 的大小关系，并说
明理由．
深入探究：
(2)如图②，在四边形 ABCD 中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求 BD 的
长．
(3)如图③，在(2)的条件下，当△ACD 在线段 AC 的左侧时，求 BD 的长．
(第 25 题)
导学号：91354018
【解】 (1)BD＝CE．理由如下：
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD．
在△EAC 和△BAD 中，∵{AE＝AB，
∠EAC＝∠BAD，
AC＝AD，
∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴BD＝CE．
(2)如解图①，在△ABC 的外部作等腰直角三角形 BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连结
EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，13
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD．
在△EAC 和△BAD 中，∵{AE＝AB，
∠EAC＝∠BAD，
AC＝AD，
∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴EC＝BD．
∵AE＝AB＝7，∴BE＝ 72＋72＝ 98．
易知∠ABE＝45°，又∵∠ABC＝45°，
∴∠CBE＝45°＋45°＝90°，
∴EC＝ BE2＋BC2＝ （ 98）2＋32＝ 107，
∴BD＝EC＝ 107．
(第 25 题解)
(3)如解图②，在线段 AC 的右侧过点 A 作 AE⊥AB，交 BC 的延长线于点 E．
∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°．
又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°，
∴AE＝AB＝7，∴BE＝ 72＋72＝ 98．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠DAC＝90°＝∠BAE，
∴∠BAE－∠BAC＝∠DAC－∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD．
在△EAC 和△BAD 中，∵{AE＝AB，
∠EAC＝∠BAD，
AC＝AD，
∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴EC＝BD．
又∵BC＝3，∴BD＝EC＝BE－BC＝ 98－3．
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