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2.8 直角三角形全等的判定
A 组
1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(B)
A．两条直角边对应相等
B．有两条边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等
D．一条直角边和斜边对应相等
2．如图，要用“HL”判定 Rt△ABC 和 Rt△DEF 全等的条件是(C)
A．AC＝DF，BC＝EF
B．∠A＝∠D，AB＝DE
C．AC＝DF，AB＝DE
D．∠B＝∠E，BC＝EF
(第 2 题)
(第 3 题)
3．如图，AB⊥AC 于点 A，BD⊥CD 于点 D，AC 与 BD 交于点 O．若 AC＝DB，则下列结论
错误的是(C)
A． ∠A＝∠D B． ∠ABC＝∠DCB
C． OB＝OD D． OA＝OD
4．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点 A，D，B，C 分别在直线 MN 和 PQ 上，点 E 在 AB 上，AD＋
BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则 AB＝__7__．
, (第 4 题)) , (第 5 题))
5．如图，点 P 到 OA，OB 的距离相等，且∠AOP＝23°，则∠AOB＝__46°__．
(第 6 题)
6 ． 如 图 ， ∠ A ＝ ∠B ＝ 90° ，E 是 AB 上 一 点 ， 且 AE＝BC， ∠ 1 ＝ ∠2 ． 求 证 ：
△ADE≌△BEC．2
【解】 ∵∠1＝∠2，∴DE＝EC．
又∵∠A＝∠B＝90°，AE＝BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)．
7．如图，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC
(第 7 题)
于点 F，且 DB＝DC，求证：EB＝FC．
【解】 ∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°．
在 Rt△DBE 和 Rt△DCF 中，
∵{DE＝DF，
DB＝DC，∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，
∴EB＝FC．
B 组
8．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点 P 和点 Q 分别在线段 AC 和射线 AX
上运动，且 AB＝PQ，当 AP＝5 或 10 时，△ABC 与△APQ 全等．
【解】 ∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°．
分两种情况：
①当 PA＝BC＝5 时，
在 Rt△ABC 和 Rt△QPA 中，∵{AB＝QP，
BC＝PA，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)．
②当 PA＝AC＝10 时，
在 Rt△ABC 和 Rt△PQA 中，
∵{AB＝PQ，
PA＝AC，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)．
综上所述，当 AP＝5 或 10 时，△ABC 与△APQ 全等．
,(第 8 题)) ,(第 9 题))3
9．如图，在长方形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△ABE 沿直线 BE 折叠后得到△GBE，延
长 BG 交 CD 于点 F，连结 EF．若 AB＝6，BC＝ 96，则 FD 的长为__4__．
【解】 ∵E 是 AD 的中点，∴AE＝DE．
∵△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE，
∴AE＝GE，AB＝GB．∴DE＝GE．
∵四边形 ABCD 是长方形，∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠EGF＝180°－∠EGB＝180°－∠A＝90°．
在 Rt△EDF 和 Rt△EGF 中，∵{DE＝GE，
EF＝EF，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL)．∴DF＝GF．
设 DF＝x，则 BF＝6＋x，CF＝6－x．
由勾股定理，得( 96)2＋(6－x)2＝(6＋x)2，
解得 x＝4．
10．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 是 Rt△ABC 的一条角平分线，点 O，E，F 分
别在 BD，BC，AC 上，且四边形 OECF 是正方形．
(1)求证：点 O 在∠BAC 的平分线上．
(2)若 AC＝5，BC＝12，求 OE 的长．
,(第 10 题)) ,(第 10 题解))
【解】 (1)如解图，过点 O 作 OM⊥AB 于点 M．
∵四边形 OECF 是正方形，
∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC，OF⊥AC．
∵BD 平分∠ABC，OM⊥AB，OE⊥BC，
∴OM＝OE，∴OM＝OF．
∵OM⊥AB，OF⊥AC，
∴点 O 在∠BAC 的平分线上．
(2)在 Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝13．
∵BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，CE＝CF＝OE，
∴BE＝12－OE，AF＝5－OE．
易证 BE＝BM，AM＝AF．
∵BM＋AM＝AB，
∴BE＋AF＝13，
∴(12－OE)＋(5－OE)＝13，
解得 OE＝2．
数学乐园
11．如图①，点 A，E，F，C 在同一条直线上，AE＝CF，过点 E，F 分别作 DE⊥AC，BF⊥
AC，且 AB＝CD，AC 与 BD 交于点 G．
(1)求证：BD 平分 EF．4
(2)若将△DEC 的边 EC 沿 AC 方向移动变为图②，其余的条件不变，上述结论是否仍成
立？请说明理由．
(第 11 题)
【解】 (1)∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，
∴AF＝CE．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°．
又∵AB＝CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．
∴BF＝DE．
又∵∠BGF＝∠DGE，
∴△BFG≌△DEG(AAS)．
∴GF＝GE，即 BD 平分 EF．
(2)结论仍成立．理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°．
∵AE＝CF，∴AE－EF＝CF－EF，即 AF＝CE．
∵AB＝CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．
∴BF＝DE．
又∵∠BGF＝∠DGE，
∴△BFG≌△DEG(AAS)．
∴GF＝GE，即 BD 平分 EF．
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