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2.6 直角三角形(一)
A 组
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，则图中直角三角形有(D)
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．3 个
(第 1 题)
(第 2 题)
2．如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开．若测得 AM 的长为
1．2 km，则 M，C 两点间的距离为(D)
A． 0．5 km B． 0．6 km
C． 0．9 km D． 1．2 km
3．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为(B)
A． 120° B． 135°
C． 150° D． 120°或 135°
4．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，E 为 AC 的中
点，连结 DE，则△CDE 的周长为(C)
A． 12 B． 13
C． 14 D． 20
(第 4 题)
(第 5 题)
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，DE 经过点 C，且 DE∥AB．若∠ACD＝50°，则
∠A＝__50°__，∠B＝__40°__．
6．如图，PA⊥OA 于点 A，PB⊥OB 于点 B，D 是 OP 的中点，则 DA 与 DB 的数量关系是 BA
＝DB．2
,(第 6 题)) ,(第 7 题))
7．如图，△ABC 绕点 C 顺时针旋转 35°得到△A′B′C′，此时恰好A′B′⊥AC，则∠A
＝__55°__．
8．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， AB 的中垂线 DE 交 BC 于点 D，垂足为 E，且
∠CAD∶∠CAB＝1∶3，求∠B 的度数．
(第 8 题)
【解】 设∠CAD＝x°，
则∠CAB＝3x°，∠BAD＝2x°．
∵DE 是 AB 的中垂线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD＝2x°．
∵∠C＝90°，
∴∠CAB＋∠B＝90°，
即 3x＋2x＝90，
解得 x＝18，
∴∠B＝2×18°＝36°．
(第 9 题)
9．如图，在△ABC 中，AD，BE 分别为边 BC，AC 上的高线，D，E 为垂足，M 为 AB 的中
点，N 为 DE 的中点．求证：
(1)△MDE 是等腰三角形．
(2)MN⊥DE．
【解】 (1)∵AD，BE 分别为边 BC，AC 上的高线，
∴△ABD，△ABE 均为直角三角形．
∵M 是 Rt△ABD 斜边 AB 的中点，∴MD＝
1
2AB．3
同理，ME＝
1
2AB．
∴ME＝MD．∴△MDE 是等腰三角形．
(2)∵ME＝MD，N 是 DE 的中点，∴MN⊥DE．
B 组
(第 10 题)
10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，将边 BC 沿斜边上的中线 CD 折叠到 CB′．若
∠B＝50°，则∠ACB′＝__10°__．
【解】 ∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，
∴∠A＝40°．
∵CD 是 AB 边上的中线，
∴CD＝BD＝AD，
∴∠BCD＝∠B＝50°，∠DCA＝∠A＝40°．
由折叠可知∠B′CD＝∠BCD＝50°，
∴∠ACB′＝∠B′CD－∠DCA＝10°．
(第 11 题)
11．如图，在△ABC 中，AD 是高线，CE 是中线，DC＝BE，DG⊥CE 于点 G．求证：
(1)G 是 CE 的中点．
(2)∠B＝2∠BCE．
【解】 (1)连结 DE．
∵AD 是高线，∴△ABD 是直角三角形．
∵CE 是 AB 边上的中线，
∴DE 是 Rt△ABD 斜边上的中线．
∴DE＝BE＝AE．
∵DC＝BE，∴DE＝DC．
又∵DG⊥CE，∴CG＝EG，即 G 是 CE 的中点．
(2)∵DE＝BE，∴∠B＝∠BDE．
∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE．
∵∠BDE 是△DCE 的一个外角，
∴∠BDE＝∠DEC＋∠BCE＝2∠BCE．
∴∠B＝2∠BCE．4
(第 12 题)
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，M 是边 AB 的中点，CH⊥AB 于点 H，CD 平分
∠ACB．
(1)求证：∠1＝∠2．
(2)过点 M 作 AB 的垂线交 CD 的延长线于点 E，连结 AE，BE．求证：CM＝EM．
【解】 (1)∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＋∠ACH＝90°．
∵CH⊥AB，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，
∴∠CAH＝∠BCH．
∵M 是斜边 AB 的中点，∴CM＝AM＝BM，
∴∠CAM＝∠ACM．∴∠BCH＝∠ACM．
∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，
∴∠BCD－∠BCH＝∠ACD－∠ACM，
即∠1＝∠2．
(2)∵CH⊥AB，ME⊥AB，∴ME∥CH，
∴∠1＝∠MED．
∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠MED，∴CM＝EM．
数学乐园
(第 13 题)
13．如图，在 Rt△ABC 的场地上，∠B＝90°，AB＝BC，∠CAB 的平分线 AE 交 BC 于点
E．甲、乙两人同时从 A 处出发，以相同的速度分别沿 AC 和 A→B→E 线路前进，甲的目的地
为 C，乙的目的地为 E．请你判断一下，甲、乙两人谁先到达各自的目的地？并说明理由．
【解】 同时到达．理由如下：
过点 E 作 EF⊥AC 于点 F．
∵AB＝BC，∠B＝90°，∴∠C＝
180°－∠B
2 ＝45°．
∵EF⊥AC，∴∠EFC＝90°，
∴∠CEF＝90°－∠C＝45°＝∠C，∴EF＝CF．
又∵AE 平分∠CAB，∴EF＝EB．5
易证得△AEF≌△AEB，得 AF＝AB，可知 AB＋BE＝AF＋CF＝AC，故同时到达．
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