1
2.3 等腰三角形的性质定理(二)
A 组
1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为 D．若∠BAC＝64°，则∠BAD 的度数
为__32°__．
,(第 1 题)) ,(第 2 题))
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是△ABC 的角平分线，已知 BC＝6，∠B＝65°，则
BD＝__3__，∠ADB＝__90°__，∠BAC＝__50°__．
3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，∠BAD＝35°，则∠C 的度数为(C)
A． 35° B． 45°
C． 55° D． 60°
,(第 3 题)) ,(第 4 题))
4．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6，AD⊥BC，垂足为 D，CD＝4，则△ABC 的周长为(B)
A． 18 B． 20
C． 22 D． 24
(第 5 题)
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，则 DE
＝DF，请说明理由．
【解】 连结 AD．
∵AB＝AC，D 为 BC 的中点，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．
(第 6 题)
6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，作∠ABE＝∠ABD，且 BE＝DC，2
连结 AE．求证：AB 平分∠EAD．
【解】 ∵AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，
∴BD＝DC，AD⊥BC．
又∵BE＝DC，∴BD＝BE．
又∵∠ABD＝∠ABE，AB＝AB，
∴△ABD≌△ABE(SAS)，
∴∠BAD＝∠BAE，
即 AB 平分∠EAD．
(第 7 题)
7．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，∠ABC 的平分线 BG 分
别交 AD，AC 于点 E，G，EF⊥AB，垂足为 F．求证：EF＝ED．
【解】 ∵AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，∴AD⊥BC．
又∵BG 平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED．
B 组
(第 8 题)
8．如图，D，E 分别是△ABC 的边 BC，AC 上的点，若 AB＝AC，AD＝AE，则(B)
A． 当∠B 为定值时，∠CDE 为定值
B． 当 α 为定值时，∠CDE 为定值
C． 当 β 为定值时，∠CDE 为定值
D． 当 γ 为定值时，∠CDE 为定值
【解】 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝γ．
∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠ADC＝∠B＋α，
即 γ＝∠C＋∠CDE，γ＋∠CDE＝∠B＋α，
∴2∠CDE＝α．
9．如图，∠BOC＝9°，点 A 在 OB 上，且 OA＝1，按以下要求画图：以点 A 为圆心，1
为半径向右画弧交 OC 于点 A1，得第一条线段 AA1；再以点 A1 为圆心，1 为半径向右画弧交 OB
于点 A2，得第二条线段 A1A2；再以点 A2 为圆心，1 为半径向右画弧交 OC 于点 A3，得第三条
线段 A2A3……这样一直画下去，最多能画__9__条线段．
(第 9 题)3
【解】 由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…．
∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝2∠BOC＝18°．
同理可得∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，∠A5A4B＝54°，∠A6A5C＝63
°，∠A7A6B＝72°，∠A8A7C＝81°，∠A9A8B＝90°，
∴第 10 个三角形将有两个底角等于 90°，不符合三角形的内角和定理，故最多能画 9
条线段．
10．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，BF⊥AC 于点 F，交 AD 于点 E，∠BAC
＝45°．求证：△AEF≌△BCF．
(第 10 题)
【解】 过点 F 作 FG⊥AB 于点 G．
∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，
∴∠ABF＝45°．
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝∠BGF＝90°．
在△AGF 和△BGF 中，
∵{∠GAF＝∠GBF＝45°，
∠AGF＝∠BGF，
GF＝GF，
∴△AGF≌△BGF(AAS)，
∴AF＝BF．
∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF＋∠C＝90°．
∵BF⊥AC，
∴∠AFE＝∠BFC＝90°，∠CBF＋∠C＝90°，
∴∠EAF＝∠CBF．
在△AEF 和△BCF 中，
∵{∠EAF＝∠CBF，
AF＝BF，
∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF≌△BCF(ASA)．
(第 11 题)4
11．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F．
(1)求证：DE＝DF．
(2)问：如果 DE，DF 分别是∠ADB，∠ADC 的平分线，那么它们还相等吗？
【解】 (1)∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD 平分∠BAC．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
(2)相等．理由如下：
由(1)知 AD⊥BC，∠DAE＝∠DAF，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵DE，DF 分别是∠ADB，∠ADC 的平分线，
∴∠ADE＝
1
2∠ADB，∠ADF＝
1
2∠ADC，
∴∠ADE＝∠ADF．
在△ADE 和△ADF 中，
∵{∠DAE＝∠DAF，
AD＝AD，
∠ADE＝∠ADF，
∴△ADE≌△ADF(ASA)，
∴DE＝DF．
数学乐园
(第 12 题)
12．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC 的平分线与 AB 的中垂
线相交于点 O，点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，求∠CEF 的度数．
【解】 连结 BO．
∵∠BAC＝50°，∠BAC 的平分线与 AB 的中垂线相交于点 O，
∴∠OBA＝∠OAB＝
1
2∠BAC＝25°．
∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°．
∴∠OBC＝65°－25°＝40°．
根据等腰三角形的对称性，得∠OCB＝∠OBC＝40°．
∵点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，
∴EO＝EC，∠CEF＝∠OEF，
∴∠EOC＝∠ECO＝40°，5
∴∠CEF＝∠OEF＝
180°－2 × 40°
2 ＝50°．
微信/支付宝扫码支付