2018年秋八年级数学上册第2章特殊三角形2.7探索勾股定理一练习新版浙教版.doc

1 2.7 探索勾股定理(一) A 组 1．已知一个直角三角形的斜边长是 5，一直角边长是 3，则此直角三角形的面积是 __6__． 2．如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，E 是 AC 的中点．若 AD＝6，DE＝5，则 CD＝ __8__． (第 2 题) 　　　 (第 3 题) 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以 AC，BC 为直径作半圆，面积分 别记为 S1，S2，则 S1＋S2 的值等于__8π__． 4．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝3，BC＝5，在 CD 上取一点 E，连结 BE．将△BCE 沿 BE 折叠，使点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处，则 CE 的长为__ 5 3__． (第 4 题) 　　 (第 5 题) 5．如图，数轴上点 A，B 分别表示 1，2，过点 B 作 PQ⊥AB．以点 B 为圆心，AB 长为半 径画弧，交 PQ 于点 C，以原点 O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点 M，则点 M 表示的 数是(B) A． 3 B． 5 C． 6 D． 7 (第 6 题) 6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是∠BAC 的平分线．已知 AB＝5，AD＝3，则 BC 的长2 为(C) A．5 　　B．6 C．8 　　D．10 7．在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c． (1)若 a＝5，b＝12，求 c． (2)若 b＝0．7，c＝2．5，求 a． (3)若 a∶b＝3∶4，c＝25，求 b． 【解】　(1)∵∠C＝90°，a＝5，b＝12， ∴c2＝a2＋b2＝52＋122＝169． ∵c>0，∴c＝13． (2)∵∠C＝90°，b＝0．7，c＝2．5， ∴a2＝c2－b2＝2．52－0．72＝5．76． ∵a>0，∴a＝2．4． (3)∵a∶b＝3∶4，∴设 a＝3x，b＝4x． ∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2． ∴(3x)2＋(4x)2＝252，∴x2＝25． ∵x>0，∴x＝5，∴b＝4×5＝20． (第 8 题) 8．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上．若 CD＝1，DE∥AB，EF⊥ DE 交 BC 的延长线于点 F，求 EF 的长． 【解】　∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°． ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B＝60°， ∴△EDC 是等边三角形， ∴DE＝CD＝1． ∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°， ∴DF＝2DE＝2． ∴EF＝ DF2－DE2＝ 22－12＝ 3． B 组 (第 9 题) 9．如图，等边三角形 ABC 的边长为 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作等边三角形 AB1C1，△3 ABC 与△AB1C1 公共部分的面积记为 S1；再以等边三角形 AB1C1 的边 B1C1 上的高 AB2 为边作等 边三角形 AB2C2 ，△AB1C1 与△AB2C2 公共部分的面积记为 S2 ……以此类推，则 Sn ＝ 3 2 × (3 4 ) n (用含 n 的代数式表示)． 【解】　∵等边三角形 ABC 的边长为 2，AB1⊥BC， ∴AB＝2，BB1＝1，∴AB1＝ 3， ∴S△ABB1＝ 1 2AB1·BB1＝ 1 2× 3×1＝ 3 2 ． 易知∠AB1C1＝60°，∴∠CB1B2＝30°． 又∵∠C＝60°，∴B1C1⊥AC，∴点 B2 在 AC 上． 易知∠B1AC＝30°，∴B1B2＝ 1 2AB1＝ 3 2 ， ∴AB2＝ AB12－B1B22＝ 3 2， ∴S1＝ 1 2AB2·B1B2＝ 1 2× 3 2× 3 2 ＝ 3 2 ×(3 4 ) 1 ． 同理，S2＝ 3 2 ×(3 4 ) 2 ，S3＝ 3 2 ×(3 4 ) 3 ， …… 以此类推，Sn＝ 3 2 ×(3 4 ) n ． 10．在△ABC 中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC 边上的高为 12 cm，求△ABC 的面积． 【解】　当∠B 为锐角时(如解图①), 在 Rt△ABD 中， BD＝ AB2－AD2＝ 132－122＝5(cm)． 在 Rt△ADC 中， CD＝ AC2－AD2＝ 202－122＝16(cm)． ∴BC＝BD＋CD＝5＋16＝21(cm)． ∴S△ABC＝ 1 2BC·AD＝ 1 2×21×12＝126(cm2)． (第 10 题解) 当∠B 为钝角时(如解图②), 同理，BC＝CD－BD＝16－5＝11(cm)． ∴S△ABC＝ 1 2BC·AD＝ 1 2×11×12＝66(cm2)． ∴△ABC 的面积为 126 cm2 或 66 cm2 ． 4 (第 11 题) 11．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝4，P 为 BC 边上任意一点． (1)求证：AP2＋PB·PC＝16． (2)若 BC 边上有 100 个不同的点(不与点 B，C 重合)P 1，P2，…，P 100，设 mi＝APi2＋ PiB·PiC(i＝1，2，…，100)．求 m1＋m2＋…＋m100 的值． 【解】　(1)过点 A 作 AD⊥BC 于点 D． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴AP2＋PB·PC＝AP2＋(PD＋BD)(CD－PD)＝AP2＋CD2－PD2． ∵AP2－PD2＝AD2， ∴AP2＋PB·PC＝AD2＋CD2＝AC2＝16． (2)由(1)知 mi＝APi2＋PiB·PiC＝16， ∴m1＝m2＝…＝m100＝16， ∴m1＋m2＋…＋m100＝16×100＝1600． 数学乐园 12．如图，∠AOB＝30°，点 M，N 分别在边 OA，OB 上，且 OM＝1，ON＝3，点 P，Q 分 别在边 OB，OA 上，求 MP＋PQ＋QN 的最小值． (第 12 题) 导学号：91354013 【解】　如解图，作点 M 关于 OB 的对称点 M1，作点 N 关于 OA 的对称点 N1，连结 M1N1 分别交 OA，OB 于点 Q，P，此时 MP＋PQ＋QN 的值最小． (第 12 题解)5 由对称的性质，知 M1P＝MP，N1Q＝NQ， ∴MP＋PQ＋QN＝M1N1． 连结 ON1，OM1， 则∠M1OP＝∠POM＝∠N1OM＝30°， ∴∠N1OM1＝90°． 又∵ON1＝ON＝3，OM1＝OM＝1， ∴M1N1＝ OM12＋ON12＝ 10，即 MP＋PQ＋QN 的最小值为 10．