1
2.6 直角三角形(二)
A 组
1．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是(D)
A． ∠A＋∠B＝∠C
B． ∠A＝2∠B＝2∠C
C． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D． ∠A＝∠B＝3∠C
2．已知一个三角形的其中一个角等于另两个角的差，则这个三角形一定是直角三角
形．
(第 3 题)
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 E，交 BC 的延
长线于点 F．若∠F＝30°，DE＝1，则 BE 的长是__2__．
4．等腰三角形一腰上的高线等于这条腰的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为
30°或 150°．
5．在△ABC 中，2∠B＝∠A＋∠C，最小角∠A＝30°，最长边的中线为 8 cm，则最短边
的长为__8__cm．
6 ． 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 高 线 长 与 中 线 长 分 别 为 5 cm 和 6 cm ， 则 它 的 面 积 为
__30__cm2．
7．如图，CE⊥AD，垂足为 E，∠A＝∠C．求证：△ABD 是直角三角形．
(第 7 题)
【解】 ∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠C＋∠D＝90°．
又∵∠A＝∠C，
∴∠A＋∠D＝90°，
∴△ABD 是直角三角形．
8．如图，已知 AB∥CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，∠BEF 的平分线与∠DFE 的
平分线相交于点 P．求证：△PEF 是直角三角形．2
(第 8 题)
【解】 ∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠DFE＝180°．
∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点 P，
∴∠PEF＝
1
2∠BEF，∠PFE＝
1
2∠DFE，
∴∠PEF＋∠PFE＝
1
2(∠BEF＋∠DFE)＝90°．
∴△PEF 是直角三角形．
B 组
(第 9 题)
9．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E，D 为 AB 的中点，
连结 DE，则△BDE 的周长是__10__．
【解】 ∵AB＝AC，AE 平分∠BAC，
∴AE 垂直平分 BC．
∵BC＝8，∴BE＝4．
∵D 是 AB 的中点，
∴AD＝BD＝DE＝
1
2AB＝3．
∴C△BDE＝BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10．
(第 10 题)
10．如图，在等边三角形 ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 边上的两动点，且总使 AD＝BE，
AE 与 CD 交于点 F，AG⊥CD 于点 G，则
FG
AF＝__
1
2__．
【解】 ∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠ACB＝60°．3
∵AD＝BE，∴CE＝BD．
在△ACE 和△CBD 中，
∵{AC＝CB，
∠ACE＝∠B，
CE＝BD，
∴△ACE≌△CBD(SAS)．∴∠CAE＝∠BCD．
∴∠AFG＝∠CAF＋∠ACF＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°．
∵AG⊥CD，∴∠FAG＝30°．∴
FG
AF＝
1
2．
(第 11 题)
11．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N 分别是对角线 AC，BD 的中
点，连结 MN．
(1)试猜想 MN 与 BD 的位置关系，并证明你的结论．
(2)如果∠BCD＝45°，BD＝2，求 MN 的长．
【解】 (1)MN⊥BD．证明如下：
连结 BM，DM．
∵∠ADC＝90°，M 是 AC 的中点，
∴AC＝2DM＝2CM．
同理，AC＝2BM＝2CM，∴BM＝DM．
∵N 是 BD 的中点，∴MN⊥BD．
(2)由(1)，得 BM＝CM，DM＝CM，
∴∠BCM＝∠CBM，∠DCM＝∠CDM．
∵∠AMB 是△BCM 的一个外角，
∴∠AMB＝∠BCM＋∠CBM＝2∠BCM．
同理，∠AMD＝2∠DCM．
∵∠BCD＝45°，∴∠BCM＋∠DCM＝45°．
∴∠BMD＝∠AMB＋∠AMD＝2(∠BCM＋∠DCM)＝90°．∴△BMD 是直角三角形．
∵N 是 BD 的中点，BD＝2，∴MN＝
1
2BD＝1．
12．如图，AD，BF 分别是△ABC 的高线与角平分线，BF，AD 交于点 E，∠1＝∠2．求证：
△ABC 是直角三角形．
(第 12 题)
【解】 ∵BF 是△ABC 的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF．
∵AD 是△ABC 的高线，4
∴∠ADB＝90°，
∴∠CBF＋∠BED＝90°．
∵∠1＝∠2＝∠BED，∴∠ABF＋∠2＝90°，
∴∠BAC＝90°，∴△ABC 是直角三角形．
(第 13 题)
13．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D 为 BC 的中点，CE⊥AD 于点 E，BF∥AC
交 CE 的延长线于点 F，连结 DF．求证：AB 垂直平分 DF．
【解】 ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CAD＋∠CDE＝90°．
∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°．
∴∠CDE＋∠DCE＝90°．
∴∠CAD＝∠DCE，即∠CAD＝∠BCF．
∵BF∥AC，∴∠CBF＋∠ACB＝180°，
∴∠CBF＝180°－∠ACB＝90°．
∴∠CBF＝∠ACD．
在△ACD 和△CBF 中，∵{∠ACD＝∠CBF，
AC＝CB，
∠CAD＝∠BCF，
∴△ACD≌△CBF(ASA)．
∴CD＝BF．
∵D 为 BC 的中点，
∴CD＝BD，∴BD＝BF．
∵BF∥AC，
∴∠ABF＝∠CAB＝∠DBA＝45°．
∴AB 垂直平分 DF．
数学乐园
14．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝90°，CD 平分∠ACB，点 E 在 AC 上，且 AE＝
AD，EF⊥CD 交 BC 于点 F，交 CD 于点 O．求证：BF＝2AD．
(第 14 题)
导学号：913540125
【解】 连结 DF，过点 D 作 DG⊥BC 于点 G．
∵∠A＝90°，AD＝AE，AB＝AC，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD．
∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD．
∴∠EDC＝∠ACD．∴DE＝EC．
∵EF⊥CD，∴EF 垂直平分 CD．
∴FD＝FC．∴∠FDC＝∠FCD．
∴∠FDC＝∠ACD．∴DF∥AC．
∴∠DFB＝∠ACB＝45°．
∴∠B＝∠BFD＝45°．
∴BD＝DF，∠BDF＝90°．
∴△DBF 为等腰直角三角形．
∵DG⊥BF，∴DG 为斜边 BF 上的中线，
∴DG＝
1
2BF．
∵CD 平分∠ACB，∠A＝∠DGC＝90°，
∴AD＝DG．∴AD＝
1
2BF，即 BF＝2AD．
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