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几何问题与行程问题与一元二次方程
1．在一幅长 50cm，宽 30cm 的风景画的四周镶一圈金色纸边，制成一幅矩形挂图，如
图所示，如果要使整个挂图的面积是 1800cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程
为____________．
2．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的
长与宽的比是 2∶1。已知镜面玻璃的价格是每平方米 120 元，边框的价格是每米 30 元，另
外制作这面镜子还需加工费 45 元．设制作这面镜子的总费用是 y 元，镜子的宽是 xm．
(1)求 y 与 x 之间的关系式；
(2)如果制作这面镜子共花了 195 元，求这面镜子的长和宽．
3．如图，Rt△ACB 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．P，Q 分别在 AC，BC 边上，同时由
A，B 两点出发，分别沿 AC，BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1 米/秒，几秒后△PCQ
的面积为 Rt△ACB 的面积的一半?2
4．如图，已知 A，B，C，D 为矩形的四个顶点，AB＝16 厘米，AD＝6 厘米．动点 P，Q
分别从 A，C 同时出发，点 P 以 3 厘米/秒的速度向点 B 移动，一直到点 B 为止，点 Q 以 2 厘
米/秒的速度向 D 移动．当 P，Q 两点从出发开始到几秒时，点 P，Q 间的距离是 10 厘米?
5.如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点 P 从点 A 出发沿边 AC 向
点 C 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动.
（1）如果点 P，点 Q 同时出发，那么几秒钟后，可使△PCQ 的面积为 8cm2？
（2）点 P，点 Q 在移动的过程中是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积是△ABC 面积的
一半，若存在，求出 t；若不存在，说明理由.
6.李明准备进行如下操作实验：把一根长 40cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各
围成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积和等于 58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm2 .你认为他的说法正确吗？请
说明理由.3
7.如图，要在一块长 52m，宽 48m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的 甬路.
下面分别是小亮和小颖的设计方案.
（1）求小亮设计方案中甬路的宽度；
（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积.（友情提示：小颖设计方案中的 x 与小亮设
计方案中的 x 的取值相同）
8.小明和同桌小聪在课后复习时，对一道思考题进行了认真的探索.
【思考题】如图，一架 2.5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时 B 到墙 C 的距离
为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么点 B 将向外移动多少米？
（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解 ： 设 点 B 将 向 外 移 动 x 米 ， 即 BB1 ＝ x ， 则 B1C ＝ x+0.7 ，
.而 A1B1＝2.5，在 Rt△A1B1C 中，由
得方程_____________，
解方程得 x1＝_____________，x2＝_____________ ，
∴点 B 将向外移动_____________米.
2 2
1 1 2.5 0.7 0.4 2AC AC AA= − = − − = 2 2 2
1 1 1 1B C AC A B+ =4
（2） 解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
①在“思考题”中，将“下滑 0.4 米”改为“下滑 0.9 米”，那么该题的答案会是 0.9
米吗？为什么？
②在“思考题”中，梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距离，有
可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题.
9.随着铁路客运量的不断增长，某地火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发
展，该火车站从去年开始启动了扩建工程.其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单
独完成需时间多 5 个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间
之和的 6 倍.
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月.
（2）若甲队每月的施工费为 100 万元，乙队每月的施工费比甲队多 50 万元.在保证工
程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程.在完成这项工
程中，甲队施工时间是乙队施工时间的 2 倍，那么，最多安排甲队施工几个月才能使工程款
不超过 1500 万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）5
参考答案
1．(50＋2x)(30＋2x)＝1800．
2．分析：(1)y＝240x2＋180x＋45；(2)y＝195 时， (舍去 )．
∴这面镜子长为 1 m，宽为
3．分析：设 x 秒后△PCQ 的面积为△ACB 的面积的一半．
依题意， (舍)．
即 2 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 的面积的一半．
4．分析：设 P，Q 两点开始出发到 x 秒时，P，Q 距离为 10cm．
(16－3x－2x)2＝102－62．
∴出发 秒或 秒时，点 P，Q 距离为 10cm．
5.解：（1）设 ts 后△PCQ 的面积为 8cm2，由题意得
，
即 t2－6t+8＝0，
解得 t1＝2，t2＝4，
即 2s 或 4s 后△PCQ 的面积为 8cm2.
（2）由题意得 ，
即 t2－6t+12＝0，
∆＝36－48＝－12
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