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根与系数的关系
1.已知α，β是关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m2＝0 的两个不相等的实数根，且
满足： ，则 m 的值是（ ）
A． 3 B．1 C．3 或－1 D．－3 或 1
2.已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1＝0 的两个实数根分别为 x1，x2，且 x1，x2 满
足 x1+x2－x1·x20，故它也有两个不相等的实数根.B 选项中方程 M 的两根符号相
同，即 ，而方程 N 的两根之积 ，也大于 0，故方程 N 的两个根也是同号的.C
选项中如果 5 是方程 M 的一个根，则有 25a+5b+c＝0①，我们只需要考虑将 代入方程 N
看是否成立即可，代入得 ②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除
以 25 得到的，故②式成立.D 选项中设方程 M 和方程 N 的一 个相同的根为 x 0 ，则有
，整理，得 ，即 .因为 ax2+bx+c＝0 是
一元二次方程，所以 a≠0，所以 ，所以 x0＝±1，所以 ，选项 D 错误，故选
择 D．
6.4 解析 把 x＝2 代入方程 x2－(a+5)x+8a＝0 得 4－2(a+5)+8a＝0，解得 a＝1，根
据 x1+x2＝a+5 可得 2+b＝a+5＝6，所以 b＝4，故 ab＝4.
7. 解析 由根与系数的关系可得 a+b＝6，ab＝－5，
∴ .
8.－4 解析 由根与系数的关系可得 m+n＝3，mn＝A．
∵(m－1)(n－1)＝－6，∴mn－m－n+1＝－6，即 mn－(m+n)＝－7，∴a－3＝－7，解得
( )
2
2 31 1 1m
m
β α
α β αβ
− +++ = = = −
( )
2
2 2
2 3 0,
2 3 4 0,
m m
m m
− − = + − >
1 2 0cx x a
⋅ = > a
c
=
1
5x =
1 1 025 5x b a+ + =
2 2
0 0 0 0ax bx c cx bx a+ + = + + ( ) 2
0a c x a c− = − 2
02 2ax a=
2
0 1ax = 0 1x = ±
6
5
−
1 1 1 1 6 6
5 5
a ba b a b ab
− − ++ = + = = = −−4
a＝－4.
9.10 解析 由根与系数的关系可得 x1+x2＝－5，x1·x2＝－4.
∵ ，∴ ，∴－8x2－48－8x1+m＝2，∴
－8(x1+x2)－48+m＝2，∴40－48+m＝2，解得 m＝10.
10.解法 1：将方程的根 x＝－2 代入方程，得
2×(－2)2+m×(－2)－4＝0，∴m＝2.
将 m＝2 代入原方程得 2x2+2x－4＝0，
即 x2+x－2＝0，解得 x1＝－2，x2＝1.
即方程的另一根为 1.
解法 2：设方程的另一根为 x1，
则根据一元二次方程根与系数的关系，得
， ，
解得 x1＝1，m＝2.
11.分析：（1）由方程有两个实数根，可得∆＝b2－4ac≥0，据此可求出 k 的取值范围；
（2）结合（1）中 k 的取值范围去掉 的绝对值号，可得出 k 的值.
解：（1）由方程有两个实数根，可得∆＝b2－4ac＝4(k－1)2－4k2≥0，解得 .
（2）依题意可得，x1+x2＝2(k－1)，由（1）可知 ，∴2(k－1) 0，则有 即
解这个不等式组，得 m
⋅ >
( )
2
1 0,
1 0.4
m
m
− − > >
1
2m≤ 1
2m≤
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