24.3 正多边形和圆
知识要点基础练
知识点1 正多边形的性质与判定
1.下列四个命题:①各边相等的圆内接多边形是正多边形;②各边相等的圆外切多边形是正多边形;③各角相等的圆内接多边形是正多边形;④各角相等的圆外切多边形是正多边形.其中正确的个数为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.比较正五边形与正六边形,可以发现它们的相同点和不同点.例如:
它们的一个相同点:正五边形的各边相等,正六边形的各边也相等.
它们的一个不同点:正五边形不是中心对称图形,正六边形是中心对称图形.
请你再写出它们的两个相同点和不同点.
解:相同点:①都是轴对称图形;②都有外接圆和内切圆.
不同点:①内角和不同;②对角线的条数不同.
知识点2 正多边形和圆的有关计算
3.边长为4的正方形内接于☉M,则☉M的半径是(D)
A.1 B.2
C. D.2
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4.如图,有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,则地基的周长是(D)
A.6 m B.16 m
C.4 m D.24 m
5.【教材母题变式】如图,一个正多边形的半径为,边心距为1,求该正多边形的中心角、边长、内角、周长和面积.
解:中心角为90°,边长为2,内角为90°,周长为8,面积为4.
知识点3 正多边形的画法
6.图1是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形.
如图2,AE是☉O的直径,用直尺和圆规作☉O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹).
解:如图.
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综合能力提升练
7.正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是(B)
A.互余 B.互补
C.互余或互补 D.不能确定
8.若正三角形、正方形、正六边形的周长相等,它们的面积分别为S1,S2,S3,则下列关系成立的是(C)
A.S1=S2=S3 B.S1>S2>S3
C.S1S1
【变式拓展】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的面积之比为(C)
A.1∶2∶3 B.1∶
C.3∶4∶6 D.无法确定
9.据资料,我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术”(即圆的内接正多边形边数不断增加,它的周长就越接近圆周长),他们从圆内接正六边形算起,一直算到内接正24576边形,将圆周率精确到小数点后七位,使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年,依据“割圆术”,由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是(B)
A.2.9 B.3 C.3.1 D.3.14
10.如图,△ABC和△DEF分别是☉O的外切正三角形和内接正三角形,则它们的面积比为(A)
A.4 B.2 C. D.
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11.寒假期间小峰在安徽的齐云山脚下看到了构造非常美丽、科学的蜂巢,如图它是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络,小峰对照蜂巢画了一幅图,每个正六边形的顶点称为格点,则△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图所示,则△ABC是直角三角形的个数为(D)
A.4 B.6 C.8 D.10
12.(河北中考)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1,把正方形放在正六边形中,使OK边与AB边重合,如图所示,按下列步骤操作:
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转,使KM边与BC边重合,完成第一次旋转;再绕点C顺时针旋转,使MN边与CD边重合,完成第二次旋转;…在这样连续6次旋转的过程中,点B,M间的距离可能是(C)
A.1.4 B.1.1 C.0.8 D.0.5
13.如图,将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点A的坐标为(-2,0),则点C的坐标为 (1,-) .
14.如图,已知△ABC是等边三角形,边长为18 cm,把△ABC的三个角剪去,剩余的部分是正六边形DEGKHF,则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为 18 cm.
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15.(威海中考)如图,正方形ABCD内接于☉O,其边长为4,则☉O的内接正三角形EFG的边长为 2 .
16.如图,正方形ABCD的外接圆为☉O,点P在上(不与C点重合).
(1)求∠BPC的度数;
(2)若☉O的半径为8,求正方形ABCD的边长.
解:(1)45°.
(2)8.
拓展探究突破练
17.(芜湖中考)如图,PQ=3,以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P,正方形ABCD的顶点A,B在大圆上,小圆在正方形的外部且与CD切于点Q.则AB= 6 .
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18.如图,正方形ABCD的边长为2,点E在边AD上(不与A,D重合),点F在边CD上,且∠EBF=45°,若△ABE的外接圆☉O与CD边相切.
(1)求☉O的半径长;
(2)求△BEF的面积.
解:(1)将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAP,过点B作BQ⊥EF,设☉O与CD相切于点M,连接OM,延长MO交AB于点N,如图所示
在△BPE与△BFE中.
∴△BPE≌△BFE(SAS),
∴∠AEB=∠BEQ,PE=EF.
在△AEB和△QEB中,
∴△AEB≌△QEB(AAS),∴BQ=AB=2.
由PE=EF可知,
C△EFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4.
设AE=a,则DE=2-a,BE=,
∵O为BE中点,且MN∥AD,∴ON=AE=.∴OM=2-.又BE=2OM,
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∴=4-a.解得a=,∴ED=,BE=,∴☉O的半径长=BE=.
(2)∵C△EFD=4,设DF=b,∴EF=4-b--b.
在Rt△EDF中,+b2=,解得b=,
∴EF=,∴S△BEF=×2=.
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