24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
知识要点基础练
知识点1 弧长公式及应用
1.(长春中考)如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B,若OA=2,∠P=60°,则的长为(C)
A.π B.π
C.π D.π
2.已知☉O的半径为9 cm,要在圆上截取一段长度为4.5π cm的弧,则这段弧所对的圆心角为(C)
A.80° B.85° C.90° D.75°
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AB=2,将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A'B'C,则点B经过的路径长为 .
知识点2 扇形面积公式及应用
4.(新疆中考)一个扇形的圆心角是120°,面积为3π cm2,那么这个扇形的半径是(B)
A.1 cm B.3 cm C.6 cm D.9 cm
6
5.【教材母题变式】如图,正三角形ABC的边长为4,D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,以A,B,C三点为圆心,2为半径作圆,则图中的阴影面积为 4-2π .
6.如图,AB是半圆的直径,C,D是的三等分点,☉O的半径为1.
(1)求的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
解:(1)∵C,D是的三等分点,
∴∠COD=60°,
∴的长l=.
(2)图中阴影部分的面积=.
综合能力提升练
7.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O的半径为6,∠B=140°,则劣弧AC的长(C)
A.8 B.4 C.π D.π
6
8.如图,在4×4的方格纸中(共有16个小方格),每个小方格都是边长为1的正方形,O,A,B分别是小正方形的顶点,则扇形OAB的弧长等于(B)
A.2π B.π
C.2π D.3
9.(咸宁中考)如图,☉O的半径为3,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,若∠BOD=∠BCD,则的长为(C)
A.π B.π C.2π D.3π
10.边长为1的等边△ABC在直线l上,按如图所示的方式进行两次旋转,在两次旋转过程中,点C经过的路径长为(B)
A. B. C.π D.
11.王奶奶家墙角的柱子上栓着一条绳子,如图,绳子长4 m,绳子的另一端拴着一只羊,草地的面积足够大,那么小羊吃到草的最大面积是(D)
6
A.π m2 B.π m2 C.π m2 D.π m2
12.如图,CD是☉O的直径,AB,EF是☉O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=16,CD=20,EF=12,则图中阴影部分的面积是(C)
A.96+25π B.88+50π
C.50π D.25π
13.(天水中考)如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中的圆心依次是A,B,C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是 4π .
14.如图,在△ABC中,BC=2,∠B=60°,若把线段BC绕着点B旋转,使得点C落在直线AB上的D处,旋转角度大于0度小于180度,那么线段BC扫过的面积等于 π或π .(结果保留π)
15.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,边CD在直线l上,将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚,当点A第一次翻滚到点A1位置时,则点A经过的路线长为 π .
6
16.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6 cm,AC=2 cm,将△ABC绕顶点C按顺时针旋转45°至△A1B1C的位置,
(1)求证:△ACB≌△A1CB1;
(2)求线段AB扫过的区域(图中阴影部分)的面积.
解:(1)在△ACB和△A1CB1中,
∵
∴△ACB≌△A1CB1(SAS).
(2)在Rt△ABC中,BC==2,
扇形BCB1的面积是==5π,×6×2=6;.
故S阴影部分=-S△ABC-=5π+6-6-π=π.
拓展探究突破练
17.已知:如图,以等边三角形ABC一边AB为直径的☉O与边AC,BC分别交于点D,E,过点D作DF⊥BC,垂足为F.
(1)求证:DF为☉O的切线;
(2)若等边三角形ABC的边长为4,求DF的长;
6
(3)求图中阴影部分的面积.
解:(1)连接DO.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠C=60°.∵OA=OD,∴△OAD是等边三角形.
∴∠ADO=60°.
∵DF⊥BC,∴∠CDF=90°-∠C=30°,∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°.
∴DF为☉O的切线.
(2)∵△OAD是等边三角形,∴AD=AO=AB=2.∴CD=AC-AD=2.
Rt△CDF中,∵∠CDF=30°,∴CF=CD=1.∴DF=.
(3)连接OE,由(2)同理可知CE=2.∴CF=1,
∴EF=1.∴S直角梯形FDOE=(EF+OD)·DF=,
∴S扇形OED=.
∴S阴影=S直角梯形FDOE-S扇形OED=.
6
微信/支付宝扫码支付