24.1.2 垂直于弦的直径
知识要点基础练
知识点1 圆的轴对称性
1.下列轴对称图形中,对称轴的条数最多的图形是(A)
A.圆 B.正六边形
C.正方形 D.等边三角形
2.将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折,直径两侧的部分相互重合,这说明(B)
A.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心
B.圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴
C.圆的直径相互平分
D.垂直弦的直径平分弦所对的弧
知识点2 垂径定理
3.如图,在☉O上作一条弦AB,再作一条与弦AB垂直的直径CD,CD与AB交于点E,则下列结论中不一定正确的是(C)
A.AE=BE B.
C.CE=EO D.
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4.如图,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,已知点A的坐标是(-2,3),点C的坐标是(1,2),那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 (-1,1) .
知识点3 垂径定理的推论
5.下列说法正确的是(D)
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的弦平分这条直径
D.弦的垂直平分线经过圆心
6.【教材母题变式】如图,在半径为5 cm的☉O中,圆心O到弦AB的距离为3 cm,则弦AB的长是(C)
A.4 cm B.6 cm
C.8 cm D.10 cm
【变式拓展】如图,☉O直径CD=20,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,若OM∶OC=3∶5,则弦AB的长为 16 .
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知识点4 垂径定理的实际应用
7.如图,是一个高速公路的隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=12米,拱高CD=9米,求圆的半径.
解:∵CD⊥AB且过圆心O,∴AD=AB=×12=6米,
设半径为r米,∴OA=OC=r米,∴OD=CD-OC=(9-r)米,
∴在Rt△AOD中,
OA2=OD2+AD2,
∴r2=(9-r)2+62,解得r=6.5.故☉O的半径为6.5米.
综合能力提升练
8.如图,☉O的弦AB垂直直径CD于点E,∠BCE=22.5°,AB=2,则☉O的半径长为(A)
A. B.2 C. D.3
9.学习了垂径定理后,合肥一中的数学老师让学生动手折一个半径为6,圆弧恰好经过圆心的图形,求出折痕的长为(B)
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A.4 B.6
C.2 D.
10.☉O内有一定点G,OG=5,☉O的半径为13,则过G点的所有弦中,长度为整数的弦共有(C)
A.2条 B.3条
C.4条 D.无数条
11.如图,AB是半圆O的直径,AC为弦,OD⊥AC于点D,过点O作OE∥AC交半圆O于点E,过点E作EF⊥AB于点F,若AC=12,则OF的长为(C)
A.8 B.7 C.6 D.4
12.已知☉O的半径为15,弦AB∥CD,AB=24,CD=18,则AB,CD之间的距离为(C)
A.17 B.7
C.21或3 D.7或17
13.如图所示,三圆同心于点O,AB=6,CD⊥AB于点O,则图中阴影部分的面积为 π .
14.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD= .
7
15.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=100 cm,水面宽AB=120 cm,某天下雨后,水管水面上升了20 cm,则此时排水管水面宽CD等于 1.6 m.
16.(西宁中考)☉O的半径为1,弦AB=,弦AC=,则∠BAC度数为 75°或15° .
17.(张家界中考)如图,AB,CD是半径为5的☉O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为 7 .
18.如图,已知圆O的圆心为点O,半径为3,点M为圆O内的一个定点,OM=,AB,CD是圆O的两条相互垂直的弦,垂足为M.
(1)当AB=4时,求四边形ADBC的面积;
(2)当AB变化时,求四边形ADBC的面积的最大值.
解:(1)作OE⊥CD于点E,OF⊥AB于点F,连接OB,OC,那么AB=2=4,
∴OF=,
又∵OE2+OF2=OM2=5,∴OE=0,∴CD为☉O的一条直径,∴CD=6,∴S四边形ADBC=AB×CD=12.
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(2)设OE=x,OF=y,则x2+y2=5,
∵AB=2,CD=2,
∴S四边形ADBC=AB×CD=
2=
2=2.
∴当x2=时,四边形ADBC的最大面积是13.
拓展探究突破练
19.如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长.
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由.
(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.
解:(1)如图(1),∵OD⊥BC,∴BD=BC=,∴OD=.
(2)如图(2),存在,DE是不变的.连接AB,则AB==2,∵D和E分别是线段BC和AC的中点,∴DE=AB=.
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(3)y=(0
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