第2课时 圆锥的侧面积和全面积
知识要点基础练
知识点1 圆锥的相关概念和侧面展开图
1.【教材母题变式】若一个圆锥的底面半径为2,母线长为6,则该圆锥侧面展开图的圆心角是(C)
A.90° B.100° C.120° D.60°
2.(南通中考)如图所示的扇形纸片半径为5 cm,用它围成一个圆锥的侧面,该圆锥的高是4 cm,则该圆锥的底面周长是(D)
A.3π cm B.4π cm
C.5π cm D.6π cm
3.已知扇形的圆心角为120°,面积为300π cm2.
(1)求扇形的弧长;
(2)如果把这个扇形卷成一个圆锥,那么圆锥的高是多少?
解:(1)20π cm.
(2)20 cm.
知识点2 圆锥的侧面积和全面积
4.(无锡中考)已知圆锥的底面半径为4 cm,母线长为6 cm,则它的侧面展开图的面积等于(C)
A.24 cm2 B.48 cm2
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C.24π cm2 D.12π cm2
5.如图,一个直角三角板,两直角边长分别是AC=7 cm,BC=24 cm,∠ACB=90°,把直角三角板△ABC绕BC所在的直线旋转一周得到一个几何体,则这个几何体的侧面积为(B)
A.160π cm2 B.175π cm2
C.120π cm2 D.135π cm2
6.小刚用一张半径为12 cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计),如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为5 cm,那么这张扇形纸板的面积是 60π cm2.
综合能力提升练
7.一个圆锥形的圣诞帽底面半径为12 cm,母线长为13 cm,则圣诞帽的表面积为(B)
A.312π cm2 B.156π cm2
C.78π cm2 D.60π cm2
8.(齐齐哈尔中考)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是(A)
A.120° B.180° C.240° D.300°
9.将直径为40 cm的圆形铁皮,做成三个相同的圆锥容器的侧面(不浪费材料,不计接缝处的材料损耗),那么每个圆锥容器的底面半径为(A)
A. cm B.10 cm C.45 cm D. cm
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10.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺3寸,容纳米2000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺,π=3),则圆柱底周长约为(注:圆柱体的体积=底面积×高)(B)
A.1丈3尺 B.5丈4尺
C.9丈2尺 D.48丈6尺
11.已知圆锥的母线长是35,它的侧面展开图是圆心角为216°的扇形,那么这个圆锥的(D)
A.底面半径是15 B.高是26
C.侧面积是700π D.底面积是441π
12.现有一张圆心角为108°,半径为40 cm的扇形纸片,小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后,将剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠),则剪去的扇形纸片的圆心角θ的大小是(A)
A.18° B.36° C.72° D.90°
13.小杰生日的前一天,妈妈让小杰用学过的数学知识做一顶生日帽,小杰先从一块圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC,使点A,B,C在圆周上,将剪下的扇形作为一个圆锥侧面,小杰做的帽子高为4 cm,则求出帽子的直径为(C)
A.26 cm B.30 cm
C.32 cm D.24 cm
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14.如图,粮仓的顶部是圆锥形状,这个圆锥底面圆的半径长为2 m,母线长为8 m,为防止雨水,需在粮仓顶部铺上油毡,如果油毡的市场价是每平方米12元钱,那么购买油毡所需要的费用是 603 元(结果保留整数).
15.如图,已知一块圆心角为270°的扇形铁皮,用它作一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥底面圆的直径是60 cm,则这块扇形铁皮的半径是 40 cm .
【变式拓展】如图,小红同学在半径为4的圆中剪去一个圆心角为60°的扇形,并将剩下部分(图中阴影部分)制成一个无缝隙且不重合的圆锥,则这个圆锥的高为 .
16.如图所示,已知圆锥底面半径r=10 cm,母线长为40 cm.
(1)求它的侧面展开图的圆心角和表面积.
(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B,请你动脑筋想一想它所走的最短路线的长是多少?为什么?
解:(1)=2π×10,解得n=90,即侧面展开图的圆心角是90°.
圆锥的表面积=π×102+π×10×40=500π(cm2).
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(2)如图,由圆锥的侧面展开图可见,甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长.
在Rt△ASB中,SA=40,SB=20,
∴AB=20(cm).
∴甲虫走的最短路线的长是20 cm.
17.如图所示是一个纸杯,它的母线延长后形成的立体图形是圆锥,该圆锥的侧面展开图是扇形OAB,经测量,纸杯开口圆的直径为6 cm,下底面直径为4 cm,母线长EF=9 cm,求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积.(结果保留根号和π)
解:扇形OAB的圆心角是40°,纸杯的表面积为49π cm2.
拓展探究突破练
18.铁匠王老五要制作一个圆锥体模型,操作规则是:在一块边长为16 cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆,使得扇形围成圆锥的侧面时,圆恰好是该圆锥的底面.他们首先设计了如图所示的方案一,发现这种方案不可行,于是他们调整了扇形和圆的半径,设计了如图所示的方案二.(两个方案的图中,圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切)请你帮助他算一算可以吗?
(1)请说明方案一不可行的理由;
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(2)判断方案二是否可行?若可行,请确定圆锥的母线长及其底面圆半径;若不可行,请说明理由.
解:连接AC,E为两圆的切点,
(1)理由如下:
∵扇形的弧长=16×=8π,圆锥底面周长=2πr,
∴圆的半径O1E=4 cm.
过O1作O1F⊥CD,∴△CO1F为等腰直角三角形,
∴O1C=O1F=O1E=4 cm.
又∵AE=AB=16 cm,
而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为AE+EO1+O1C=16+4+4=20+4 cm.
∵20+4>16,∴方案一不可行.
(2)方案二可行.求解过程如下:
设圆锥底面圆的半径为r cm,圆锥的母线长为R cm,
∵在一块边长为16 cm的正方形纸片上,∴正方形对角线长为16 cm,
则(1+)r+R=16①,2πr=②.
由①②,可得R=,r=.
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故所求圆锥的母线长为 cm,底面圆的半径为 cm.
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