24.1.4 圆周角
知识要点基础练
知识点1 圆周角定理
1.下列图形中的角是圆周角的是(B)
2.如图,AB是☉O的直径,∠AOC=110°,则∠D=(B)
A.25° B.35° C.55° D.70°
知识点2 圆周角定理的推论
3.如图,小华同学设计了一个圆直径的测量器.有两把标有刻度的尺子OA,OB,把O点钉在一起,并使它们保持垂直.在测直径时,把O点靠在圆周上,读得刻度OE=8,OF=6,则圆的直径为(B)
A.12 B.10 C.4 D.15
8
4.如图,☉A经过原点O,并与两坐标轴分别相交于B,C两点,已知∠ODC=45°,点B的坐标为(0,k).
(1)求点C的坐标;
(2)若☉A的面积为8π,求k的值.
解:(1)连接BC,则∠OBC=∠D=45°.
∵∠BOC=90°,∴∠OCB=45°.∴OC=OB=k,即点C坐标为(k,0).
(2)∵BC为☉直径,BC=
k,S☉A=πr2=8π,∴π=8π.∴k=4.
知识点3 圆内接四边形的性质
5.(兰州中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为(C)
A.45° B.50°
C.60° D.75°
8
6.如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AE.若∠D=80°,则∠BAE= 20° .
综合能力提升练
7.如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=120°,AB=AC=6,BD为☉O的直径,则BD等于(D)
A.4 B.6 C.8 D.12
8.(自贡中考)如图,☉O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是(C)
A.15° B.25°
C.30° D.75°
9.(云南中考)如图,B,C是☉A上的两点,AB的垂直平分线与☉A交于E,F两点,与线段AC交于D点.若∠BFC=20°,则∠DBC=(A)
A.30° B.29° C.28° D.20°
10.已知半径为5的☉O中,弦AB=5,弦AC=5,则∠BOC的度数是(C)
8
A.15° B.210°
C.30°或150° D.60°或90°
11.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AC=24,AB=14,D是AC上一个动点,以AD为直径的☉O交BD于点E,则线段CE的最小值是(C)
A.15 B.16 C.17 D.18
12.如图,△ABC内接于☉O,∠A所对弧的度数为120°,∠ABC,∠ACB的角平分线分别交于AC,AB于点D,E,CE,BD相交于点F.以下四个结论:①∠BFE=60°;②BC=BD;③EF=FD;④BF=2DF.其中结论一定正确的序号数是(C)
A.①④ B.①②③
C.①③ D.②③
13.AB是☉O的直径,点D在☉O上,∠AOD=120°,BC∥OD交☉O于点C,则∠A= 30 度.
14.(株洲中考)如图,已知AM为☉O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段AB和AC分别交☉O于点D,E,∠BMD=40°,则∠EOM= 80 °.
8
【变式拓展】如图,已知AB是☉O的直径,BC为弦,过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D,连接DC,若∠DCB=32°,则∠BAC= 64° .
15.如图,在△ABC中,AB=AC=5,以AB为直径的☉O与BC交于点D,与AC交于点E,连接OD交BE于点M,且MD=1,则BE长为 4 .
16.如图,AB是☉O的直径,点C,D为圆上两点,且弧CB=弧CD,CF⊥AB于点F,CE⊥AD的延长线于点E.
(1)试说明:DE=BF;
(2)若∠DAB=60°,AB=6,求△ACD的面积.
解:(1)∵弧CB=弧CD,
∴CB=CD,∠CAE=∠CAB.
又∵CF⊥AB,CE⊥AD,
∴CE=CF.
8
∴Rt△CED≌Rt△CFB(HL).
∴DE=BF.
(2)∵CE=CF,∠CAE=∠CAB,∴△CAE≌△CAF.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵∠DAB=60°,∴∠CAB=30°,AB=6.∴BC=3.
∵CF⊥AB于点F,∴∠FCB=30°.∴CF=,BF=.
∴S△ACD=S△ACE-S△CDE=S△ACF-S△CFB=·(AF-BF)·CF=(AB-2BF)·CF=.
17.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB=AD,E为上一点(不与点A,D重合).
(1)若∠C=110°,求∠E的度数;
(2)若∠E=∠C,求证:△ABD为等边三角形.
解:(1)∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠BAD+∠C=180°.
∵∠C=110°,∴∠BAD=70°.
∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=55°.
∵四边形ABDE内接于☉O,
∴∠ABD+∠E=180°.∴∠E=125°.
8
(2)∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠BAD+∠C=180°.
∵四边形ABDE是☉O的内接四边形,
∴∠ABD+∠E=180°.
又∵∠E=∠C.∴∠BAD=∠ABD.∴AD=BD.
又AB=AD,∴△ABD为等边三角形.
拓展探究突破练
18.如图,在锐角△ABC中,AB>AC,AD⊥BC于点D,以AD为直径的☉O分别交AB,AC于点E,点F,连接DE,DF.
(1)求证:∠EAF+∠EDF=180°;
(2)已知P是射线DC上一个动点,当点P运动到PD=BD时,连接AP,交☉O于点G,连接DG.设∠EDG=∠α,∠APB=∠β,那么∠α与∠β有何数量关系?试证明你的结论.
解:(1)在圆内接四边形AEDF中,
AD为直径,∴∠AED=∠AFD=90°.
又∠AED+∠AFD+∠EAF+∠EDF=360°,
∴∠EAF+∠EDF=360°-(∠AED+∠AFD)=180°.
(2)∠α=2∠β,理由如下:如图,
8
在△ABD与△APD中,AD⊥BP,且BD=DP,AD=AD,∴△ABD≌△APD(SAS).
∴∠B=∠APD=∠β,在△ABP中∠EAG+∠B+∠APD=180°,则∠EAG+2∠β=180°.
由(1)知∠EAG+∠EDG=180°,则∠EAG+∠α=180°,即∠α=2∠β.
8
微信/支付宝扫码支付