第3课时 切线长定理
知识要点基础练
知识点1 切线长定理
1.如图,已知PA,PB分别切☉O于点A,B,∠P=60°,PA=8,那么弦AB的长是(B)
A.4 B.8
C.4 D.8
2.如图,PA,PB是☉O的切线,切点为A,B,若OP=4,PA=2,则∠AOB的度数为(C)
A.60° B.90°
C.120° D.无法确定
3.如图,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B两点,PA=6,∠P=50°,C是☉O上任意一点,过点C作☉O的切线,分别交PA,PB于点D,E,求:
(1)△PDE的周长;
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(2)∠DOE的度数.
解:如图,连接OA,OB,OC;
(1)∵DA,DC,EB,EC分别是☉O的切线,∴DA=DC,EB=EC,∴DE=DA+EB,
∴PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB.∵PA,PB分别是☉O的切线,∴PA=PB=6.
∴△PDE的周长=12.
(2)∵DA,DC分别是☉O的切线,∴OA⊥DA,OC⊥DC.
在Rt△ODA与Rt△ODC中,
∴△ODA≌△ODC(HL),∴∠DOA=∠DOC.
同理可证∠COE=∠BOE,∴∠DOE=∠AOB.
∵∠P+∠AOB=360°-90°-90°=180°,
∴∠AOB=180°-50°=130°,∴∠DOE=65°.
知识点2 三角形的内切圆与内心
4.下面关于“三角形的内心”说法正确的是(A)
A.三角形的内心到三边的距离相等
B.三角形的内心是三边垂直平分线的交点
C.三角形的内心是三边中线的交点
D.三角形的内心到三个顶点的距离相等
5.如图,在△ABC中,∠BAC=40°,点P是△ABC的内心,则∠BPC=(B)
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A.80° B.110°
C.130° D.140°
6.【教材母题变式】如图,△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
(1)求证:四边形ODCE是正方形;
(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆☉O的半径.
解:(1)略.
(2)☉O的半径为2.
综合能力提升练
7.如图,是数学课上老师让学生制作的一张周长为20 cm的△ABC纸片,BC=6 cm,在△ABC内画出它的内接圆☉O,并在☉O的右侧,用剪刀沿着与☉O相切的任意一条直线MN剪下△AMN,则剪下的三角形的周长为(B)
A.12 cm B.8 cm
C.6 cm D.14 cm
8.一个钢管放在V型架内,其截面如图,O为钢管界面圆的圆心,若PM=25 cm,∠MPN=60°,则☉O的半径等于(D)
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A.50 cm B.25 cm
C.20 cm D.25 cm
9.如图,若AB,AC分别切☉O于点B,C,延长OB到点D使BD=OB,连接AD,若∠DAC=78°,则∠ADO的度数为(C)
A.56° B.39° C.64° D.78°
10.如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D,E,F,则下列等式:
①∠EDF=∠B;②2∠EDF=∠A+∠C;③2∠A=∠FED+∠EDF;④∠AED+∠BFE+∠CDF=180°,其中成立的个数是(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图a,有两个全等的正三角形ABC和DEF,点D,C分别为△ABC、△DEF的内心;固定点D,将△DEF顺时针旋转,使得DF经过点C,如图b,则图a中四边形CNDM与图b中△CDM面积的比为(C)
A.2∶1 B.2∶
C.4∶3 D.
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12.(南京中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为(A)
A. B. C. D.2
【变式拓展】如图,以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为 6∶7 .
13.如图,四边形ABCD中,AD平行BC,∠ABC=90°,AD=3,AB=8,以AB为直径的半☉O切CD于点E,F为弧BE上一动点,过F点的直线MN为半☉O的切线,MN交BC于点M,交CD于点N,则△MCN的周长为(C)
A.9 B.10 C. D.2
14.如图,已知I为△ABC的内心,O为△ABC的外心,∠O=140°,则∠I=(B)
A.140° B.125°
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C.130° D.110°
15.如图所示,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=30°,则∠DBA= 75° .
16.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是 6 步.
17.如图,AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,BO=6,CO=8.
(1)判断△OBC的形状,并证明你的结论;
(2)求BC的长;
(3)求☉O的半径OF的长.
解:(1)△OBC是直角三角形.
(2)BC=10.
(3)OF=4.8.
拓展探究突破练
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18.(龙岩中考)如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10= π .
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