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2.5.2 圆的切线
第 1 课时 切线的判定
知|识|目|标
1．通过回顾圆的切线的概念和直线与圆的位置关系，理解切线的判定定理．
2．通过切线的判定定理，掌握圆的切线的作法．
目标一 理解切线的判定定理
(1)直线与圆有公共点时证明直线是圆的切线
例 1 教材例 2 针对训练已知：如图 2－5－4，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC
于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E.
求证：DE 是⊙O 的切线．
图 2－5－4
【归纳总结】判定圆的切线的三种方法：
(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
(2)若圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线；
(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(2)直线与圆位置关系不明时证明圆的切线
例 2 教材补充例题已知：如图 2－5－5 所示，在△ABC 中，AB＝AC，O 是 BC 的中点，OD⊥
AB，垂足为 D，以点 O 为圆心，OD 为半径作⊙O.
求证：AC 与⊙O 相切．2
图 2－5－5
【归纳总结】判定圆的切线的常用辅助线的选择：
(1)如果已知直线过圆上一点，那么连接这点和圆心，得到半径，证明这条半径垂直于已知直
线即可，可记为：有交点，作半径，证垂直；
(2)如果已知直线与圆没有明确是否有公共点，那么过圆心作已知直线的垂线段，证明垂线段
等于半径即可，可记为：无交点，作垂线，证半径．
目标二 掌握圆的切线的作法
例 3 教材补充例题阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图，过圆外一点作圆的切线．
图 2－5－6
已知：如图 2－5－6，⊙O 及⊙O 外一点 P.
求作：过点 P 的⊙O 的切线．
小涵的主要作法如下：
如图 2－5－7，(1)连接 OP，作线段 OP 的中点 A；
(2)以点 A 为圆心，
图 2－5－7
OA 的长为半径作圆，交⊙O 于点 B，C；
(3)作直线 PB 和 PC.
所以 PB 和 PC 就是所求作的切线.
老师说：“小涵的作法是正确的．”
请回答：小涵的作图依据是________________________________________．
【归纳总结】圆的切线的作法：
(1)过圆外一点作圆的切线的方法：
①连接圆外的点与圆心；
②以连接得到的线段长为直径作圆，与已知圆交于两点；
③连接圆外的点与交点，即得到过圆外一点所作的已知圆的两条切线．3
(2)圆的切线的作法是以圆的切线的判定定理为依据，将作切线转化为作垂线来实现，所作的
直线必须满足两个基本特征：
①经过半径的外端；
②垂直于这条半径．
知识点一 切线的判定定理
切线的判定定理：经过半径的______并且________________的直线是圆的切线．
[注意] (1)圆的切线必须同时满足两个条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径．二者
缺一不可．
(2)“垂直于这条半径”不要省去了“这条”两个字，如图 2－5－8，直线 l 过半径 OA 的外
端，垂直于半径 OB，但直线 l 不是⊙O 的切线．
图 2－5－8
(3)切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②圆心到直线的距离等于半径；③切
线的判定定理．
知识点二 过圆上一点作圆的切线
步骤：(1)根据题意在圆周上取一点 A；
(2)连接圆心 O 与点 A；
(3)过点 A 作一条直线垂直于 OA，则这条直线就是所求作的圆的切线．
如图 2－5－9，OP 是∠AOB 的平分线，以点 P 为圆心的⊙P 与 OA 相切于点 C.求证：⊙P 与 OB
相切．
图 2－5－9
证明：如图 2－5－10，设⊙P 与 OB 的公共点为 D，连接 PC，PD.
图 2－5－10
∵OA 与⊙P 相切于点 C，4
∴PC⊥OA.
又 OP 平分∠AOB，
∴∠COP＝∠DOP.
在△COP 与△DOP 中，
{∠PCO＝∠PDO，
∠COP＝∠DOP，
OP＝OP，
∴△COP≌△DOP，
∴PC＝PD，
∴⊙P 与 OB 相切．
上述证明过程有无错误？若有错误，请指出错误的原因，并改正．5
教师详解详析
【目标突破】
例 1 [解析] 若要证 DE 是⊙O 的切线，只需 DE 满足两个条件：①DE 过半径的外端点；②DE
垂直于这条半径．所以只需连接 OD，则满足条件①，故只需证明 DE⊥OD 即可，而 DE⊥AC，
则只需证 OD∥AC.
证明：如图，连接 OD，则∠OBD＝∠ODB.
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD.
又∵DE 过半径 OD 的外端点，
∴DE 是⊙O 的切线．
例 2 [解析]要证 AC 是⊙O 的切线，题目没有点明 AC 与⊙O 的交点，即没有点明切点，因此，
过点 O 作 AC 的垂线，垂足为 E；而⊙O 与 AB 相切于点 D，所以⊙O 的半径即是 OD，只要证明
OE＝OD 问题即得解．
证明：如图，连接 OA，过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E.
∵AB＝AC，O 是 BC 的中点，
∴∠BAO＝∠CAO.
又∵ OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为 D，E，
∴ OE＝OD，
∴ AC 与⊙O 相切．
例 3 直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【总结反思】
[小结] 知识点一 外端 垂直于这条半径
[反思]有错误，错误原因有两个：①条件中没有给出“⊙P 与 OB 有公共点”；②∠PCO＝∠PDO
缺乏依据．正确解答：连接 PC，过点 P 作 PD⊥OB 于点 D.∵OA 与⊙P 相切于点 C，∴PC⊥OA.
又 OP 平分∠AOB，∴PC＝PD，∴⊙P 与 OB 相切．
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