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2.4 过不共线三点作圆
知|识|目|标
1．通过回顾线段的垂直平分线的作法，理解过不在同一直线上的三点作圆．
2．通过类比圆内接四边形的有关概念，理解三角形的外接圆及圆内接三角形的概念.
目标一 过平面内的点作圆
例 1 教材补充例题如图 2－4－1，点 A，B，C 在同一条直线上，点 D 在直线 AB 外，过这四点
中的任意三个点，能画圆的个数是( )
图 2－4－1
A．1 B．2 C．3 D．4
【归纳总结】确定一个圆的条件：
(1)过平面内任一点，可以作无数个圆；
(2)过平面内两点，可以作无数个圆，这些圆的圆心都在连接这两点的线段的垂直平分线上；
(3)过不在同一直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
注意：过在同一直线上的三点不能作圆，因为连接其中任意两点所得的线段的垂直平分线互
相平行，它们不能构成圆心．
目标二 理解三角形的外接圆
例 2 教材补充例题已知等腰三角形 ABC，如图 2－4－2.
(1)用直尺和圆规作△ABC 的外接圆；
(2)设△ABC 的外接圆的圆心为 O，若∠BOC＝128°，求∠BAC 的度数．
图 2－4－22
【归纳总结】三角形外心的“三点必知”：
(1)三角形的外心是三边垂直平分线的交点；
(2)三角形的外心与三个顶点的距离相等；
(3)锐角三角形的外心在其内部；直角三角形的外心在其斜边中点处；钝角三角形的外心在其
外部．
例 3 教材补充例题小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图 2－4－3 所示，为
了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )
图 2－4－3
A．第①块 B. 第②块 C. 第③块 D. 第④块
【归纳总结】确定三角形外接圆的两个条件：
(1)圆心的位置；(2)半径．
已知一段弧寻找这段弧所在圆的圆心时，我们需在这段弧上任取两条弦，再分别作这两条弦
的垂直平分线，其交点便是所求圆的圆心．
知识点一 过不在同一直线上的三个点作圆
不在同一直线上的三点确定一个圆．
[点拨] (1)“不在同一直线上”是构成圆的基本条件．
(2)“确定”即“有且只有”，表示存在过三点的圆且只有唯一的圆．
知识点二 三角形的外接圆与外心
经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这
个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的____________________的交点．
[说明] (1)三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，我们在画图时只要画出两边的中垂
线，交点就是该三角形的外心；(2)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；(3)锐角三
角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点
处．
．
在△ABC 中，AB＝AC，BC＝8，△ABC 外接圆的半径为 5，求 AB 的长．
图 2－4－43
解：如图 2－4－4，连接 OB，连接 AO 并延长交 BC 于点 D，
则 AD 垂直平分 BC，
∴BD＝
1
2BC＝4.
在 Rt△OBD 中，OD＝ OB2－BD2＝ 52－42＝3，
∴AD＝AO＋OD＝5＋3＝8.
在 Rt△ABD 中，AB＝ AD2＋BD2＝ 82＋42＝4 5.
以上解答是否完整？若不完整，请进行补充．4
教师详解详析
【目标突破】
例 1 C
例 2 解：(1)如图所示．
(2)如图，在优弧 BC 上任取一点 D，连接 BD，CD，
∵∠BOC＝128°，
∴∠BDC＝
1
2∠BOC＝64°，
∴∠BAC＝180°－∠BDC＝116°.
例 3 A
备选目标 三角形的外接圆、外心的综合应用
例 如图①，△ABC 内接于⊙O，AD 为边 BC 上的高．
(1)若 AB＝6，AC＝4，AD＝3，求⊙O 的直径 AE；
(2)若 AB＋AC＝10，AD＝4，求⊙O 的直径 AE 的最大值，并指出此时边 AB 的长．
[解析] (1)需要找到 AB，AC，AD，AE 之间的数量关系，连接 BE，则∠ABE＝90°＝∠ADC，∠
E＝∠C(同弧所对的圆周角相等)，所以△ABE∽△ADC，可得 AB∶AD＝AE∶AC，进而求出 AE
即可；(2)根据已知得出 AC＝10－AB 的长，利用(1)的结论，将 AE 转化为关于 AB 的二次函数，
最值可求．
解：(1)如图②，连接 BE.
∵AE 是⊙O 的直径，AD⊥BC，
∴∠ABE＝90°＝∠ADC.
又∵∠E＝∠C，
∴△ABE∽△ADC，∴
AB
AD＝
AE
AC，
∴AE＝
AC·AB
AD ＝
4 × 6
3 ＝8.
(2)∵AB＋AC＝10，
∴AC＝10－AB.
设 AB＝x，AE＝y，
∵AD＝4，由(1)中
AB
AD＝
AE
AC，5
得 y＝
x（10－x）
4 ＝－
x2
4 ＋
5
2x＝－
1
4(x－5)2＋
25
4 ，
∴⊙O 的直径 AE 的最大值为
25
4 ，此时边 AB 的长为 5.
[归纳总结] 解决这类综合题，大都需要借助垂径定理，圆心角、弦、弧关系定理及圆周角定
理及其推论，并利用三角形全等或相似来解决，有时还要结合函数来求最大值或最小值．
【总结反思】
[小结] 知识点二 三条边的垂直平分线
[反思] 不完整．
补充：若△ABC 是锐角三角形，则 AB＝4 5；
若△ABC 是钝角三角形，如图所示，连接 OA，OB，OA 交 BC 于点 D.
此时 AD＝OA－OD＝5－3＝2.
在 Rt△ABD 中，AB＝ AD2＋BD2＝ 22＋42＝2 5.
∴AB 的长为 2 5或 4 5.
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