1
2.7 正多边形与圆
知|识|目|标
1．通过对多边形的边角比较，归纳出正多边形的概念及相关性质．
2．通过回顾尺规作图，掌握画圆的内接正多边形的方法．
3．通过操作与讨论，理解正多边形的对称性，并能进行相关计算．
目标一 理解正多边形的有关概念
例 1 教材补充例题下列说法正确的是( )
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形
D．各角相等的圆内接多边形是正多边形
【归纳总结】正多边形及其有关概念：
(1)正多边形的定义包含了正多边形的基本性质：①各边相等；②各角相等．
(2)正多边形的判定方法：同时满足条件：①各边相等；②各角相等的多边形是正多边形．
目标二 会画正多边形
例 2 教材补充例题已知⊙O 和⊙O 上的一点 A，如图 2－7－1 所示．
(1)作⊙O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH；
(2)在(1)题所作的图中，如果点 E 在劣弧 AB 上，试证明 EB 是⊙O 内接正十二边形的一边．2
图 2－7－1
【归纳总结】等分圆周画正多边形的工具和方法：
(1)只用量角器：用量角器把 360°圆心角 n 等分，相应圆周也 n 等分，顺次连接各分点得到
正 n 边形．
(2)用量角器和圆规：先用量角器画出 360°圆心角的 n 分之一，从而得到圆周的 n 分之一，
再用圆规顺次截取，便得圆周的 n 等分点，顺次连接各分点得到正 n 边形．
(3)用圆规和直尺：用尺规等分圆周，可以作正六边形、正方形等特殊正多边形．
目标三 能进行正多边形的有关计算
例 3 教材补充例题如图 2－7－2，G，H 分别是正六边形 ABCDEF 的边 BC，CD 上的点，且 AG＝
5，BG＝CH，AG 交 BH 于点 P.
(1)求 BH 的长；
(2)求∠APH 的度数．
图 2－7－2
【归纳总结】正 n 边形中存在的“三个角”“三条线段”“一个周长”和“一个面积”：
(1)与正 n 边形有关的角：
①中心角：每个中心角的度数为
360°
n ；
②内角：每个内角的度数为
（n－2）·180°
n ；
③外角：每个外角的度数为
360°
n .
(2)正多边形的半径 R、边心距 r、边长 a 间的关系：(a
2 ) 2
＋r2＝R2.3
(3)正 n 边形的周长 l 与边长 a，面积 S 与边长 a、边心距 r 间的关系：周长 l＝na；面积 S＝
1
2arn.
知识点一 正多边形的有关概念
正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形．
将一个圆 n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个
圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心．4
知识点二 正多边形的画法
基本原理：由于在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，因此可以用
等分圆心角的方法来等分圆周， 画正多边形．
常用方法：(1)用量角器等分；
(2)用圆规等分．
知识点三 正多边形的对称性
正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有____条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的
______．当 n 为奇数时，正 n 边形的 n 条对称轴都是顶点与中心的连线所在的直线；当 n 为
偶数时，正 n 边形有____条对称轴是过顶点与中心的直线，有____条对称轴是过中心与边垂
直的直线．
正偶数边形都是中心对称图形，它的对称中心是这个正多边形的中心．
判断：正多边形都是中心对称图形．( )
答案：√
以上答案正确吗？若不正确，请说明理由．5
教师详解详析
【目标突破】
例 1 [解析] C 通过举反例可以知道菱形的各边相等，但它不是正多边形，可以排除选项
A，矩形各角相等，但它不是正多边形，可以排除选项 B，D.
例 2 [解析] (1)根据正方形和正六边形的作图方法分别作出⊙O 的内接正方形 ABCD 和内接
正六边形 AEFCGH；
(2)通过计算 EB 所对的圆心角的度数来证明．
解：(1)在⊙O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径 AC 和 BD，连接 AB，BC，CD，DA，得⊙
O 的内接正方形 ABCD(如图所示)；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O 中作出正六边形
AEFCGH.
(2)证明：连接 OE.
∵AE 是正六边形的一边，
∴∠AOE＝
360°
6 ＝60°.
∵AB 是正方形的一边，
∴∠AOB＝
360°
4 ＝90°，
∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝90°－60°＝30°.
设 EB 是⊙O 内接正 n 边形的一边，
则
360°
n ＝30°，解得 n＝12，
∴EB 是⊙O 内接正十二边形的一边．
例 3 解：(1)在正六边形 ABCDEF 中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°.在△ABG 与△BCH 中，
∵{AB＝BC，
∠ABC＝∠C，
BG＝CH，
∴△ABG≌△BCH，∴BH＝AG＝5.
(2)由(1)知△ABG≌△BCH，∴∠BAG＝∠CBH，∴∠BPG＝∠ABG＝120°，∴∠APH＝∠BPG＝120
°.
【总结反思】
[小结] 知识点三 n 中心
n
2
n
2
[反思] 不正确．因为只有正偶数边形才是中心对称图形．
反思：正偶数边形既是中心对称图形，又是轴对称图形；正奇数边形仅是轴对称图形．
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