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2.3 垂径定理
知|识|目|标
1．通过圆的对称性折叠操作，理解垂径定理．
2．通过对垂径定理的理解，采用转化和对称思想解决有关直角三角形的计算与证明问题．
3．在掌握垂径定理的基础上，能应用垂径定理解决实际生活中的问题.
目标一 理解垂径定理
例 1 教材补充例题如图 2－3－1 所示的图形中，哪些图形能得到 AE＝BE 的结论，哪些不能，
为什么？
① ② ③ ④
图 2－3－1
【归纳总结】理解垂径定理的“三点注意”：
(1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”；
(2)垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立；
(3)平分弦所对的两条弧，是指平分弦所对的劣弧和优弧，不要漏掉优弧．
目标二 能运用垂径定理进行计算或推理证明
例 2 教材补充例题如图 2－3－2，⊙O 的半径为 17 cm，弦 AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，
圆心 O 位于 AB，CD 的上方，求 AB 和 CD 之间的距离．2
图 2－3－2
【归纳总结】垂径定理中常用的两种辅助线：
(1)若已知圆心，则作垂直于弦的直径；
(2)若已知弦、弧的中点，则作弦、弧中点的连线或连半径等．
目标三 能利用垂径定理解决实际问题
例 3教材补充例题赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约 1400 年，历经无数次洪水冲
击和 8 次地震却安然无恙．如图 2－3－3，若桥跨度 AB 约为 40 米，主拱高 CD 约为 10 米，
则桥弧 AB 所在圆的半径 R＝________米．
图 2－3－3
图 2－3－4
【归纳总结】
1．垂径定理基本图形的四变量、两关系：
(1)四变量：如图 2－3－4，弦长 a，圆心到弦的距离 d，半径 r，弧的中点到弦的距离(弓形
高)h，这四个变量知任意两个可求其他两个．
(2)两关系：①(a
2 ) 2
＋d2＝r2；②h＋d＝r.
2．垂径定理在应用中常作的辅助线：
作垂线，连半径，构造直角三角形．
3．垂径定理在应用中常用的技巧：
设未知数，根据勾股定理列方程．3
知识点 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条____，并且平分________________．
[点拨] (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
已知 CD 是⊙O 的一条弦，作直径 AB，使 AB⊥CD，垂足为 E，若 AB＝10，CD＝8，求 BE 的
长．
解：如图 2－3－5，连接 OC，则 OC＝5.
图 2－3－5
∵AB 是⊙O 的直径，AB⊥CD，
CD＝8，
∴CE＝
1
2CD＝4.
在 Rt△OCE 中，
OE＝ OC 2－CE 2＝3，
∴BE＝OB＋OE＝5＋3＝8.
以上解答完整吗？若不完整，请进行补充．45
教师详解详析
【目标突破】
例 1 解：①②能，③④不能．理由略．
例 2 [解析] 如图，过圆心 O 作弦 AB 的垂线，易证它也与弦 CD 垂直，由垂径定理知 AE＝
BE，CF＝DF，根据勾股定理可求 OE，OF 的长，进而可求出 AB 和 CD 之间的距离．
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，交 CD 于点 F，连接 OA，OC.∵AB∥CD，∴OF⊥CD.
在 Rt△OAE 中，
∵OA＝17 cm，AE＝BE＝
1
2AB＝15 cm，
∴OE＝ 172－152＝8(cm)．
同理可求 OF＝ 172－82＝15(cm)．
∵圆心 O 位于 AB，CD 的上方，
∴EF＝OF－OE＝15－8＝7(cm)．
即 AB 和 CD 之间的距离是 7 cm.
例 3 [答案] 25
[解析] 根据垂径定理，得 AD＝
1
2AB＝20 米．在 Rt△AOD 中，根据勾股定理，得 R2＝202＋(R－
10)2，解得 R＝25(米)．
【总结反思】
[小结] 知识点 弦 弦所对的两条弧
[反思] 不完整．
补充：若垂足 E 在线段 OA 上，则 BE＝OB＋OE＝5＋3＝8；
若垂足 E 在线段 OB 上，
则 BE＝OB－OE＝5－3＝2.
综上所述，BE 的长为 8 或 2.
其长度保持不变．
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