1
2.2.2 圆周角
第 2 课时 圆周角定理的推论 2 及圆内接四边形
知|识|目|标
1．通过特殊化思想探究直径所对的圆周角，理解圆周角定理的推论 2.
2．在学习圆周角的基础上，结合图形理解圆内接四边形的概念，并探究圆内接四边形的性质.
目标一 理解圆周角定理的推论 2 并能计算或证明
例 1 教材补充例题 2017·宁波模拟如图 2－2－10，AB 是⊙O 的直径，且 AB＝10，sin∠BAC＝
3
5，D 为优弧 ABC 上任意一点．
图 2－2－10
(1)求 AC 的长；
(2)求 tan∠ADC 的值．
【归纳总结】
1．圆周角定理及其推论中的转化思想：
(1)弧是圆周角、圆心角的中介，通过弧可实现圆周角、圆心角之间的相互转化；
(2)在同圆或等圆中，90°的圆周角和直径之间可以相互转化．
2．圆周角定理及其推论中常用的辅助线：
当题目中的条件出现直径时，通常作出直径所对的圆周角，得到直角，然后结合直角三角形
的性质解决问题，即“见直径出直角”．
目标二 理解圆内接四边形及其性质2
例 2 教材补充例题如图 2－2－11，两个等圆⊙O1 和⊙O2 相交于 A，B 两点，经过点 A 的直线
与两圆分别交于点 C，D，经过点 B 的直线与两圆分别交于点 E，F，且 CD∥EF.
求证：(1)四边形 EFDC 是平行四边形；
(2)CE︵
＝DF︵
.
图 2－2－11
【归纳总结】圆内接四边形的角的“三种关系”：
(1)对角互补，若四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°；
(2)若四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，则∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°；
(3)圆内接四边形任意一个外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其
内对角．
知识点一 圆周角定理的推论 2
直径所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______．
知识点二 圆内接四边形
定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫作圆内接四边形，这个圆
叫作这个四边形的外接圆．
性质：圆内接四边形的对角______．
如图 2－2－12，已知 AB 是⊙O 的直径，∠CAB＝40°，D 是圆上一点(不与点 A，B，C 重合)，
求∠ADC 的度数．
图 2－2－12
解：连接 BC，如图 2－2－13，3
图 2－2－13
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠ADC＝50°.
上述解答完整吗？若不完整，请补充完整．4
教师详解详析
【目标突破】
例 1 解：(1)连接 BC.∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵AB＝10，sin∠BAC＝
3
5，
∴BC＝6，∴AC＝8.
(2)∵∠ADC＝∠B，
∴tan∠ADC＝tanB＝
AC
BC ＝
8
6 ＝
4
3.
例 2 证明：(1)连接 AB.∵四边形 ABEC 是⊙O1 的内接四边形，∴∠BAC＋∠E＝180°.
又∵四边形 ADFB 是⊙O2 的内接四边形，
∴∠BAD＋∠F＝180°.
又∵∠BAC＋∠BAD＝180°，
∴∠BAC＝∠F，
∴∠E＋∠F＝180°，∴CE∥DF.
又∵CD∥EF，
∴四边形 EFDC 是平行四边形．
(2)由(1)得四边形 EFDC 是平行四边形，
∴CE＝DF.
又∵⊙O1 与⊙O2 等圆，∴CE︵
＝DF︵
.
备选目标 圆心角、圆周角性质定理的综合运用
例 已知：如图所示，BC 为半圆⊙O 的直径，AB︵
＝AF︵
，AC 与 BF 相交于点 M.
(1)若∠FBC＝α，求∠ACB 的度数(用 α 表示)；
(2)过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，交 BF 于点 E，求证：BE＝EM.
[解析] (1)利用AB︵
＝AF︵
，探索∠ACB 与∠FCB 的关系；(2)欲证 BE＝EM，因为它们所在的三角
形不全等，故找中间线段转换，注意到∠BAC＝90°，因此选择 AE 为中间线段．
解：(1)如图，连接 CF.
∵BC 是⊙O 的直径，∴∠F＝90°.
∵∠FBC＝α，∴∠FCB＝90°－α.
∵AB︵
＝AF︵
，5
∴∠5＝∠ACF，
∴∠5＝
1
2∠FCB＝
1
2×(90°－α)＝45°－
1
2α.
即∠ACB＝45°－
1
2α.
(2)证明：∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，即∠1＋∠2＝90°.
∵∠ADC＝90°，
∴∠5＋∠2＝90°，∴∠1＝∠5.
∵AB︵
＝AF︵
，
∴∠5＝∠4，∴∠1＝∠4，∴BE＝AE.
在 Rt△ABM 中，
∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，∠1＝∠4，
∴∠2＝∠3，∴EM＝AE，故 BE＝EM.
[归纳总结] 在圆中求角的度数时，一般从与所求角相关的圆周角或圆心角入手，在进行角的
转换时，还应特别注意“等弧”在角的转换中的重要过渡作用；在证明不是弦的两条线段相
等时，一般考虑全等三角形或利用中间线段进行等量代换．
【总结反思】
[小结] 知识点一 直角 直径
知识点二 互补
[反思] 解答不完整．正确解法：连接 BC，如图．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝40°，∴∠B＝50°.
当点 D 在优弧 ABC 上时，∠ADC＝∠B＝50°；当点 D 在劣弧 AC 上时，∠AD′C＝180°－∠B＝
130°，∴∠ADC 的度数为 50°或 130°.
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