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2.1 圆的对称性
知|识|目|标
1．通过观察生活中的圆形物体和自己画圆，理解圆的有关概念．
2．通过测量比较，能判断点与圆的位置关系．
3．在复习回顾中心对称与轴对称的基础上，理解圆的对称性.
目标一 理解圆的有关概念
例 1 教材补充例题下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④
半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤长度相等的弧是等弧．其中错误的说法有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
例 2 教材补充例题如图 2－1－1 所示，已知 CD 是⊙O 的直径，∠EOD＝78°，点 A 在 DC 的延
长线上，AE 交⊙O 于点 B，且 AB＝OC，求∠A 的度数．
图 2－1－1
【归纳总结】圆中容易混淆的两组基本概念：
(1)弦与直径：
①直径是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径；
②弦是连接圆上任意两点的线段，但直径是经过圆心的弦．
(2)弧与半圆：
①半圆是弧，但弧不一定是半圆；
②圆上任意两点分圆成两段弧，圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫
作半圆. 2
目标二 能判断点与圆的位置关系
例 3 教材补充例题 2017·陕西模拟⊙O 的半径为 5，圆心 O 的坐标为(0，0)，点 P 的坐标为
(4，2)，则点 P 与⊙O 的位置关系是( )
A．点 P 在⊙O 内
B．点 P 的⊙O 上
C．点 P 在⊙O 外
D．点 P 在⊙O 上或⊙O 外
【归纳总结】判断点与圆的位置关系的方法：
(1)判断点与圆的位置关系的“三步法”：①连接该点和圆心；②计算该点与圆心之间的距离
d；③依据圆的半径 r 与 d 的大小关系得出结论．
(2)点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径的关系，这是从形到数的认识；反过
来，也可以通过点到圆心的距离与半径的关系来判断点与圆的位置关系，这是从数到形的认
识．
目标三 理解圆的对称性
例 4 教材补充例题在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿
着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明( )
A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
B．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
C．圆的直径互相平分
D．直径是圆内最长的弦
【归纳总结】圆的对称性：
(1)轴对称性：圆是对称轴最多的轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，或
者说过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．
(2)中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．事实上圆绕着圆心旋转任意角度都
能和自身重合，圆的这一性质也称为圆的旋转不变性．
知识点一 圆的定义
圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形，这个定点叫作圆心，定长叫作半
径．圆也可以看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，定点叫作圆心，定
点与动点的连线段叫作半径．
知识点二 点与圆的位置关系
设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则点与圆的三种位置关系和 d 与 r 的大小关系
的对应关系如下表：
点与圆
的位置
关系
图形表示 点到圆心的距离
d 与半径 r 的关系
点在
圆内 点 P 在⊙O 内⇔d＜r3
点在
圆上 点 P 在⊙O 上⇔d＝r
点在
圆外 点 P 在⊙O 外⇔d>r
[注意] 符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可
以得到左端．
知识点三 圆的有关概念
1．弦、直径
弦：连接圆上任意两点的______叫作弦．
直径：经过______的弦叫作直径．
直径是圆中______的弦．
2．弧、半圆、优弧、劣
弧：圆上任意________的部分叫作圆弧，简称弧．
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．
劣弧：小于半圆的弧是劣弧．
优弧：大于半圆的弧是优弧．
3．弦与弧的区别：
弦 弧
定义 连接圆上任意两点的线段叫作弦 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧
表示 用线段形式表示，如 CD 用符号“⌒”表示，如CD︵
区分 弦与直径的关系 弧与半圆的关系
4．把能够重合的两个圆叫作______，把能够互相重合的弧叫作______．
知识点四 圆的对称性
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆又是中心对称图形，______
是它的对称中心．
[点拨] “直径是圆的对称轴”这一说法是错误的，因为对称轴都是直线，而直径是线段．
1．判断正误：
(1)弦是直径；( )
(2)半圆是弧；( )
(3)长度相等的弧是等弧；( )
(4)经过圆内一点可以作无数条直径．( )
2．若一个点到一个圆的最短距离为 4 cm，最长距离为 8 cm，则这个圆的半径为________．
答案：6 cm
以上答案是否正确？若不正确，请给出正确的答案．45
教师详解详析
【目标突破】
例 1 [解析]C 根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确
定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；能够互相重合的弧叫作等弧，所
以①③⑤的说法是错误的．
例 2 [解析] 已知∠EOD＝78°，与∠A 构成了内、外角的关系，而∠E 的度数也未知，且 AB
＝OC 这一条件不能直接使用，因此想到同圆的半径相等，需作半径 OB，从而得到 OB＝AB.
解：如图，连接 OB.
∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝OB，
∴∠A＝∠1.
又∵OB＝OE，
∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A，∴∠DOE＝∠E＋∠A＝3∠A.
而∠DOE＝78°，
∴3∠A＝78°，
∴∠A＝26°.
例 3 A
例 4 [解析]B 根据将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个
半圆互相重合，显然说明了圆的轴对称性．
【总结反思】
[小结]
知识点三 1.线段 圆心 最长
2．两点间 4.等圆 等弧
知识点四 圆心
[反思] 1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
[解析] 直径是弦，但弦不一定是直径，故(1)不正确；弧包括半圆、优弧和劣弧，故(2)正确；
等弧是能够重合的弧，故(3)不正确；经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内一点
正好是圆心)，故(4)不正确．
反思：要切实去掌握弦、直径、弧、等弧等各种概念的包含关系与成立条件．
2．不正确．当点 P 在⊙O 内时(如图①)，此时 PA＝4 cm，PB＝8 cm，AB＝12 cm，因此圆的半
径为 6 cm；
当点 P 在⊙O 外时(如图②)，此时 PA＝4 cm，PB＝8 cm，直线 PB 过圆心 O，直径 AB＝PB－PA
＝8－4＝4(cm)，因此圆的半径为 2 cm.
所以这个圆的半径为 6 cm 或 2 cm.6
图① 图②
反思：在没有图形的情况下要进行分类讨论．
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