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2.5.3 切线长定理
知|识|目|标
1．通过画图、折纸操作，理解切线长的概念及切线长定理．
2．在理解切线长定理的基础上，能运用切线长定理解决有关问题.
目标一 理解切线长的概念与切线长定理
例 1 教材补充例题如图 2－5－13 所示，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点，连接 PO，
交⊙O 于点 D，交 AB 于点 C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一
个结论给予证明．
图 2－5－13
【归纳总结】切线长定理中的基本图形：
如图 2－5－14，PA，PB 为⊙O 的切线，此图形中含有：
图 2－5－14
(1)两个等腰三角形 (△PAB，△OAB)；
(2)一条特殊的角平分线( OP 平分 ∠APB 和∠AOB)；2
(3)三个垂直关系 (OA⊥PA, OB⊥PB，OP⊥AB)．
目标二 能运用切线长定理解决有关问题
例 2 高频考题如图 2－5－15 所示，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别是 A，B，Q 为AB︵
上一点，
过点 Q 作⊙O 的切线，分别交 PA，PB 于点 E，F.已知 PA＝12 cm，∠P＝70°.求：
(1)△PEF 的周长；
(2)∠EOF 的度数．
图 2－5－15
【归纳总结】运用切线长定理解决有关问题：
(1)在解决有关圆的切线长问题时，往往需要构建基本图形：
①连接圆心和切点；
②连接两个切点；
③连接圆心和两切线的交点．
(2)在运用切线长定理解决问题时，要注意分解、提炼出切线长定理的基本图形，挖掘图形中
的常见几何关系：
①线段相等、弧相等；
②角相等、角的互余关系；
③线段的垂直关系；
④全等三角形与相似三角形．
知识点 切线长的概念与切线长定理
(1)切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的
切线长．
(2)切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线
的夹角．
[注意] 切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能量度；切线长是线段的长，这条
线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以量度．
如图 2－5－16，PA，PB，CD 分别切⊙O 于点 A，B，E，CD 交 PA，PB 于 C，D 两点，若∠P＝40
°，则∠PAE＋∠PBE 的度数为( )3
图 2－5－16
A．140° B．62°
C．66° D．70°
答案：A
以上答案是否正确？若不正确，请给出正确答案．4
教师详解详析
【目标突破】
例 1 解：答案不唯一，如图所示，
结论：①∠3＝∠4 或∠7＝∠8 或∠1＝∠5 或∠2＝∠6；②OP⊥AB；③AC＝BC.
选择证明②：∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.在Rt△OAP
与 Rt△OBP 中，∵{OA＝OB，
OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA＝PB，∠1＝∠2，∴OP⊥AB.
例 2 解： (1)∵PA，PB，EF 是⊙O 的切线，
∴PA＝PB，EA＝EQ，FQ＝FB，
∴△PEF 的周长＝PE＋PF＋EQ＋FQ＝PA＋PB＝24(cm)．
(2)连接 OA，OB，OQ.∵PA，PB，EF 是⊙O 的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，EF⊥OQ，
∠AEO＝∠QEO，∠QFO＝∠BFO，
∴∠AOE＝∠QOE，∠BOF＝∠QOF.
又∵∠AOB＝180°－∠P＝110°，
∴∠EOF＝
1
2∠AOB＝55°.
[备选例题] 已知：如图所示，在△ABC 中，∠ABC＝90°，O 是 AB 上一点，以点 O 为圆心，OB
长为半径的圆与 AB 交于点 E，与 AC 相切于点 D.
求证：DE∥OC.
证明： 如图，连接 BD.
∵∠ABC＝90°，OB 为⊙O 的半径，
∴CB 是⊙O 的切线．
∵AC 是⊙O 的切线，D 是切点，
∴CD＝CB，∠1＝∠2，
∴OC⊥BD.∵BE 是⊙O 的直径，
∴DE⊥BD，∴DE∥OC.
【总结反思】
[反思] 不正确．
正解：∵PA，PB，CD 分别切⊙O 于点 A，B，E，CD 交 PA，PB 于 C，D 两点，
∴CE＝CA，DE＝DB，
∴∠CAE＝∠CEA，∠DEB＝∠DBE，5
∴∠PCD＝∠CAE＋∠CEA＝2∠CAE，∠PDC＝∠DEB＋∠DBE＝2∠DBE，
∴∠CAE＝
1
2∠PCD，∠DBE＝
1
2∠PDC，
即∠PAE＝
1
2∠PCD，∠PBE＝
1
2∠PDC.
∵∠P＝40°，∴∠PAE＋∠PBE＝
1
2∠PCD＋
1
2∠PDC＝
1
2(∠PCD＋∠PDC)＝
1
2(180°－∠P)＝70
°.故选 D.
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