2018_2019学年九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定第3课时相似三角形判定定理3同步练习新版新人教版.doc

1 课时作业(十) [27.2.1　第 3 课时　相似三角形判定定理 3]　　　　　　　　　 　　　　　　　 　 一、 选择题 1．已知一个三角形的两个内角分别是 40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是 60°， 80°，则这两个三角形(　　) A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．全等 2．下列各组图形可能不相似的是(　　) A．两个等边三角形 B．各有一个角是 45°的两个等腰三角形 C．各有一个角是 105°的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 3．在△ABC 和△A1B1C1 中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(　　) A．∠B＝∠B1 B. AB A1B1＝ AC A1C1 C. AB A1B1＝ BC B1C1 D. AB B1C1＝ AC A1C1 4．如图 K－10－1，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，则图中相似三角形共有(　　) 图 K－10－1 A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 5．如图 K－10－2，在△ABC 中，AD 是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段 AC 的长为(　　) 链接听课例1归纳总结2 图 K－10－2 A．4 B．4 2 C．6 D．4 3 6．如图 K－10－3，在△ABC 中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC 沿图 K－10－4 中的虚线 剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是链接听课例2归纳总结(　　) 图 K－10－3 图 K－10－4 7．如图 K－10－5，P 为线段 AB 上一点，AD 与 BC 交于点 E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC 交 PD 于点 F，AD 交 PC 于点 G，则图中相似三角形有(　　) 图 K－10－5 A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 8．2017·常州如图 K－10－6，已知矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别落在 x 轴、y 轴上，OD＝2OA＝ 6，AD∶AB＝3∶1，则点 C 的坐标是(　　) 图 K－10－6 A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8) 二、填空题 9．已知：如图 K－10－7，在△ABC 中，E 是 AB 边的中点，点 F 在 AC 边上，若以 A，E，F 为顶 点的三角形与△ABC 相似，则需要添加的一个条件是________(写出一个即可)． 图 K－10－7 10．2017·攀枝花如图 K－10－8，D 是等边三角形 ABC 的边 AB 上一点，AD＝2，BD＝4.现将△ABC 折叠，使得点 C 与点 D 重合，折痕为 EF，且点 E，F 分别在边 AC 和 BC 上，则 CF CE＝________．3 图 K－10－8 11．如图 K－10－9 所示，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，且 AB＝4　 2， AC＝5，AD＝4，则⊙O 的直径 AE＝________． 图 K－10－9 三、解答题 12．2017·杭州如图 K－10－10，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AG⊥BC 于点 G，AF⊥DE 于点 F，∠EAF＝∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC； (2)若 AD＝3，AB＝5，求 AF AG的值． 链接听课例1归纳总结 图 K－10－10 13．2017·株洲如图 K－10－11，正方形ABCD 的顶点 A 在等腰直角三角形 DEF 的斜边 EF 上，EF 与 BC 相交于点 G，连接 CF. 求证：(1)△DAE≌△DCF； (2)△ABG∽△CFG. 图 K－10－114 14．如图 K－10－12，BD 为⊙O 的直径，AB＝AC，AD 交 BC 于点 E，AE＝2，ED＝4. (1)求证：△ABE∽△ADB； (2)求线段 AB 的长． 图 K－10－12 15．2017·宿迁如图 K－10－13，在△ABC 中，AB＝AC，点 E 在边 BC 上移动(点 E 不与点 B，C 重合)，满足∠DEF＝∠B，且点 D，F 分别在边 AB，AC 上． (1)求证：△BDE∽△CEF； (2)当点 E 移动到 BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.链接听课例2归纳总结 图 K－10－13 探究 题(1)王华在学习相似三角形时遇到这样一道题：如图 K－10－14①，在△ABC 中，P 是边 AB 上的一5 点，连接 CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是________，并说明理由．(请给出你的 解答) (2)请你参考上面的图形和结论，探究解答下面的问题：如图 K－10－14②，在△ABC 中，∠A＝ 30°，AC2＝AB2＋AB·BC，求∠ACB 的度数． 图 K－10－146 详解详析 [课堂达标] 1．[解析] C　第一个三角形的第三个内角为 180°－40°－60°＝80°，所以这两个三角形有 两组角对应相等，故它们一定相似．故选 C. 2．[解析] B　A 选项中，根据三边成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似．B 选项中 没有指明这个 45°的角是顶角还是底角，所以无法判定其相似．C 选项中已知一个角为 105°，可 以判定其为顶角，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似．D 选 项中根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似． 3．D 4．[解析] C　由题意可得△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，∴共有 3 对相似三角 形．故选 C. 5．[解析] B　∵BC＝8，AD 是中线，∴CD＝4. 在△CBA 和△CAD 中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴ AC BC＝ CD AC， ∴AC2＝CD·BC＝4×8＝32，∴AC＝4 2. 故选 B. 6．[解析] C　A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错 误．B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误．C.阴影部分 的三角形与原三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D.阴影部分的三角形 与原三角形的对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选 C. 7．[解析] C　△DPG∽△DAP，△CPF∽△CBP，△APG∽△BFP. 8．[解析] A　如图，过点 C 作 CE⊥y 轴，垂足为 E. ∵OD＝2OA＝6，∴OA＝3. 由题意易得 Rt△CED∽Rt△DOA， ∴ CE DO＝ DE AO＝ CD AD. 又∵CD＝AB，∴ CE 6 ＝ DE 3 ＝ 1 3， ∴CE＝2，DE＝1，∴OE＝7， ∴点 C 的坐标为(2，7)． 9．答案不唯一，如 AF＝ 1 2AC 或∠AFE＝∠B 等 10．[答案] 5 4 [解析] 由题意易知∠A＝∠B＝∠EDF＝60°，∴∠AED＝∠FDB，∴△AED∽△BDF，∴ ED DF＝ AE＋ED＋AD DF＋BF＋DB，由翻折易知 EC＝ED，FC＝FD，∴ CF CE＝ BC＋BD AC＋AD＝ 5 4. 11．[答案] 5　 2 [解析] 由圆周角定理可知∠E＝∠C. ∵∠ABE＝∠ADC＝90°，∠E＝∠C， ∴△ABE∽△ADC，∴ABAD＝AEAC. ∵AB＝4　 2，AC＝5，AD＝4， ∴4　 24＝AE5，∴AE＝5　 2. 12．解：(1)证明：∵AF⊥DE 于点 F，AG⊥BC 于点 G，7 ∴∠AFE＝90°，∠AGC＝90°， ∴∠AEF＝90°－∠EAF，∠C＝90°－∠GAC. 又∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AEF＝∠C. 又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC. (2)∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B. 又∵∠AFD＝∠AGB＝90°， ∴△AFD∽△AGB， ∴ AF AG＝ AD AB. ∵AD＝3，AB＝5，∴ AF AG＝ 3 5. 13．证明：(1)∵△DEF 是等腰直角三角形，四边形 ABCD 是正方形， ∴DE＝DF，DA＝DC， ∠B＝∠EDF＝∠ADC＝90°，∠EFD＝∠DEF＝45°， ∴∠CDF＋∠ADF＝∠ADE＋∠ADF＝90°， ∴∠CDF＝∠ADE. 在△DAE 与△DCF 中，{DA＝DC， ∠ADE＝∠CDF， DE＝DF， ∴△DAE≌△DCF. (2)由(1)知∠DFC＝∠DEF＝45°. ∵∠EFD＝45°，∠DFC＝45°， ∴∠CFG＝∠DFC＋∠EFD＝90°， ∴∠CFG＝∠B. 又∵∠CGF＝∠AGB， ∴△ABG∽△CFG. 14．[解析] 由“等腰三角形的两个底角相等”和圆周角定理可推∠ABE＝∠D，再加上公共角∠ BAD，可证△ABE∽△ADB，进而可得 AB AD＝ AE AB，代入数据可求得线段 AB 的长． 解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C. ∵∠C＝∠D，∴∠ABC＝∠D. 又∵∠BAE＝∠DAB， ∴△ABE∽△ADB. (2)由△ABE∽△ADB 得 AB AD＝ AE AB，∴AB2＝AD·AE＝(AE＋ED)·AE＝(2＋4)×2＝12，∴AB＝2 3. 15．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠DEF＋∠CEF＝∠B＋∠BDE，∠DEF＝∠B， ∴∠CEF＝∠BDE，∴△BDE∽△CEF. (2)∵△BDE∽△CEF， ∴ BE CF＝ DE EF. ∵E 是 BC 的中点，∴BE＝CE， ∴ CE CF＝ DE EF，即 CE DE＝ CF EF. 又∵∠C＝∠B＝∠DEF， ∴△EDF∽△CEF， ∴∠CFE＝∠EFD，即 FE 平分∠DFC. [素养提升] 解：(1)(答案不唯一)∠ACP＝∠B 或∠APC＝∠ACB 或 AC2＝AP·AB.理由略． (2)延长 AB 到点 D，使 BD＝BC，连接 CD，如图所示． ∵AC2＝AB2＋AB·BC＝AB(AB＋BC)＝AB(AB＋BD)＝AB·AD，8 ∴ AC AD＝ AB AC. 又∵∠A＝∠A， ∴△ACB∽△ADC， ∴∠ACB＝∠D. ∵BD＝BC， ∴∠BCD＝∠D. 在△ACD 中，∠ACB＋∠BCD＋∠D＋∠A＝180°， ∴3∠ACB＋30°＝180°， ∴∠ACB＝50°.