2018_2019学年九年级数学下册第二十七章相似专题训练三相似三角形的基本模型同步练习新版新人教版.doc

1 专题训练(三)　相似三角形的基 本模型 ►　模型一　“A”字型 (1)如图 3－ZT－1①，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC； (2)如图 3－ZT－1②，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△AED∽△ABC； (3)如图 3－ZT－1③，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边， 则△ACD∽△ABC.(又称母子图) 图 3－ZT－1 1．如图 3－ZT－2 所示，D 是△ABC 的边 AB 上一点，连接 CD，若 AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B， 则 AC 的长为________． 图 3－ZT－2 2．如图 3－ZT－3 所示，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，连接 AD，EF∥BC，EF 分别与 AB，AC， AD 交于点 E，F，G.求证： EG GF＝ BD DC. 图 3－ZT－32 3．如图 3－ZT－4 所示，D，E 两点分别在△ABC 的边 AB，AC 上，DE 与 BC 不平行． (1)补充一个条件，使△ADE∽△ACB； (2)在(1)的条件下，求证：△ADE∽△ACB. 图 3－ZT－4 ►　模型二　“X”字型 (1)如图 3－ZT－5①，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO； (2)如图 3－ZT－5②，对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD，则△ABO∽△CDO. 图 3－ZT－5 4．如图 3－ZT－6 所示，已知 AC 和 BD 相交于点 E，CE·AE＝BE·DE.求证：△ABE∽△DCE. 图 3－ZT－6 5．如图 3－ZT－7 所示，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 相交于点 O，BE∥CD 交 CA 的延长线于点 E.求证：OC2＝OA·OE. 图 3－ZT－73 ►　模型三　旋转型 如图 3－ZT－8，∠1＝∠2，∠B＝∠D，则△ADE∽△ABC. 图 3－ZT－8 6．如图 3－ZT－9 所示， AB AD＝ BC DE＝ AC AE，点 B，D，F，E 在同一条直线上，请找出图中的相似三角 形，并说明理由． 图 3－ZT－9 ►　模型四　垂直型 (1)如图 3－ZT－10，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD ∽△ABC∽△CBD.(双垂直图) 图 3－ZT－10 (2)如图 3－ZT－11，Rt△ABD 与 Rt△BCE 的斜边互相垂直，且点 A，B，C 共线，则有△ABD∽△ CEB.(M 型，也可归入模型五) 　　　4 图 3－ZT－11 7．已知：如图 3－ZT－12，AB⊥BD，ED⊥BD，C 是线段 BD 的中点，且 AC⊥CE，ED＝1，BD＝4， 则 AB 的长为________． 图 3－ZT－12 ►　模型五　一线三等角型 如图 3－ZT－13，∠ABC＝∠ACE＝∠CDE，则△ABC∽△CDE，称为“一线三等角型”的相似三角 形． 图 3－ZT－13 8．如图 3－ZT－14，在△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝16，D 是边 BC 上一动点(不与点 B，C 重 合)，∠ADE＝∠B＝α，DE 交 AC 于点 E.给出下列结论：①图中有 2 对相似三角形；②线段 CE 长的 最大值为 6.4；③当 AD＝DC 时，BD 的长为 39 4 .其中正确的结论是(　　) 图 3－ZT－14 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．如图 3－ZT－15 所示，△ABC，△DEF 均为正三角形，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，请找出 一个与△DBE 相似的三角形，并给予证明． 图 3－ZT－155 详解详析 1．[答案] 2 3 [解析] 在△ABC 和△ACD 中，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴ AC AD＝ AB AC，即 AC2＝ AD·AB＝AD·(AD＋BD)＝2×6＝12，∴AC＝2 3.故填 2 3. 2．证明：∵EF∥BC，∴ EG BD＝ AG AD， GF DC＝ AG AD， ∴ EG BD＝ GF DC，即 EG GF＝ BD DC. 3．解：(1)∵∠A 是公共角，且 DE 与 BC 不平行， ∴当补充条件①∠ADE＝∠C 或②∠AED＝∠B 或③ AD AC＝ AE AB或④AD·AB＝AE·AC 时，△ADE∽△ ACB.(答案不唯一) (2)证明：①∵∠A 是公共角，∠ADE＝∠C， ∴△ADE∽△ACB. ②∵∠A 是公共角，∠AED＝∠B， ∴△ADE∽△ACB. ③∵∠A 是公共角， AD AC＝ AE AB， ∴△ADE∽△ACB. ④∵AD·AB＝AE·AC， ∴ AD AC＝ AE AB. 又∵∠A 是公共角，∴△ADE∽△ACB. 4．证明：∵CE·AE＝BE·DE，∴ CE BE＝ DE AE. 又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE. 5．证明：∵AD∥BC，∴△COB∽△AOD， ∴ OC OA＝ OB OD. 又∵BE∥CD，∴△EOB∽△COD， ∴ OE OC＝ OB OD， ∴ OC OA＝ OE OC， 即 OC2＝OA·OE. 6．解：△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE，△ABF∽△ECF，△AEF∽△BCF. 理由：∵ AB AD＝ BC DE＝ AC AE， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE. 又∵ AB AD＝ AC AE，即 AB AC＝ AD AE， ∴△BAD∽△CAE，∴∠ABF＝∠FCE. 又∵∠AFB＝∠EFC，∴△ABF∽△ECF. 由△ABC∽△ADE，得∠ACB＝∠AEF. 又∵∠AFE＝∠BFC，∴△AEF∽△BCF. 7．[答案] 4 [解析] ∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.6 ∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°， ∴∠A＝∠ECD， ∴△ABC∽△CDE，∴ AB CD＝ BC ED. 又∵C 是线段 BD 的中点，BD＝4， ∴BC＝CD＝2，∴ AB 2 ＝ 2 1，∴AB＝4. 8．证明：∵CD⊥AB，E 为斜边 AC 的中点， ∴DE＝CE＝AE＝ 1 2AC，∴∠EDA＝∠A. ∵∠EDA＝∠FDB， ∴∠A＝∠FDB. ∵∠ACB＝∠CDA＝90°， ∴∠A＋∠ACD＝∠FCD＋∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠FCD，∴∠FDB＝∠FCD. 又∵∠F＝∠F，∴△FDB∽△FCD， ∴ BD CD＝ DF CF， ∴BD·CF＝CD·DF. 9．[解析] D　由∠ADE＝∠B＝∠C＝α，得∠BAD＋∠ADB＝180°－α＝∠ADB＋∠CDE，得∠BAD ＝∠CDE，于是△ABD∽△DCE，又易证△ADE∽△ACD，故①正确；设 BD＝x，由△ABD∽△DCE 得 AB CD＝ BD CE，∴CE＝ BD·CD AB ＝ x（16－x） 10 ＝－ 1 10(x－8)2＋6.4，故 CE 长的最大值为 6.4，②正确；当 AD＝DC 时，∠DAC＝∠C＝∠B，易证△ABC∽△DAC，得 AC CD＝ BC AC，即 10 16－BD＝ 16 10，解得 BD＝ 39 4 ，③正确． 10．解：△ECH，△GFH，△GAD 均与△DBE 相似． 如选△DBE∽△GAD 证明如下： ∵△ABC 与△DEF 均为等边三角形， ∴∠A＝∠EDF＝60°. 又∵∠BDG＝∠BDE＋∠EDF，∠BDG＝∠A＋∠AGD， 即∠BDE＋60°＝∠AGD＋60°， ∴∠BDE＝∠AGD. 又∵∠B＝∠A＝60°， ∴△DBE∽△GAD.