2018_2019学年九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性质同步练习新版新人教版.doc

1 课时作业(十一) [27.2.2　相似三角形的性质]　　　　　　　　　 　　　　　　　 　 一、 选择题 1．2017·重庆若△ABC∽△DEF，且相似比为 3∶2，则△ABC 与△DEF 的对应高的比为(　　) A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9 2．若两个相似三角形的对应中线的比为 3∶4，则它们对应角平分线的比为(　　) A．1∶16 B．16∶9 C．4∶3 D．3∶4 3．已知△ABC∽△DEF，且它们的周长之比为 1∶9，则△ABC 与△DEF 对应高的比为(　　) A．1∶3 B．1∶9 C．1∶18 D．1∶81 4．2017·连云港如图 K－11－1，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式中一定成立 的是(　　) 图 K－11－1 A. BC DF＝ 1 2 B. ∠A的度数 ∠D的度数＝ 1 2 C. △ ABC的面积 △ DEF的面积＝ 1 2 D. △ ABC的周长 △ DEF的周长＝ 1 2 5．2017·永州如图 K－11－2，在△ABC 中，D 是 AB 边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝ 2，△ADC 的面积为 1，则△BCD 的面积为(　　) 图 K－11－22 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图 K－11－3，在 Rt△ABC 中，AD 为斜边 BC 上的高，若 S△CAD＝3S△ABD，则 AB∶AC 等于(　　) 链接听课例3归纳总结 图 K－11－3 A．1∶3 B．1∶4 C．1∶ 3 D．1∶2 7．如图 K－11－4，D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，DE∥AC.若 S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则 S△DOE∶S△AOC 的值为(　　) 图 K－11－4 A. 1 3 B. 1 4 C. 1 9 D. 1 16 8．如图 K－11－5，四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形，点 G 在线段 CD 上，连接 BG，DE， DE 和 FG 相交于点 O.设 AB＝a，CG＝b(a>b)．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③ DG GC＝ GO CE；④ (a－b)2·S△EFO＝b2·S△DGO.其中正确的有(　　) 图 K－11－5 A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 二、填空题 9．2018·连云港如图 K－11－6，△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC，AD∶DB＝1∶ 2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为________． 图 K－11－6 10．若△ABC∽△A′B′C′，BC＝18 cm，CA＝15 cm，AB＝21 cm，△A′B′C′的最短边长为 5 cm，则△A′B′C′的周长为________． 11．如图 K－11－7，在▱ABCD 中，E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点 F，若 S△DEC＝3，则 S △BCF＝________．3 图 K－11－7 12．如图 K－11－8，Rt△AOB 的一条直角边 OB 在 x 轴上，双曲线 y＝ k x(x>0)经过斜边 OA 的中 点 C，与另一条直角边交于点 D.若 S△OCD＝9，则 S△OBD 的值为________． 　　　 图 K－11－8 三、解答题 13．如图 K－11－9，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为 4 cm2 和 9 cm2，求△ABC 的面积． 图 K－11－9 14．如图 K－11－10，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，△ADE∽△ACB，相似比为 AD∶ AC＝2∶3，△ABC 的角平分线 AF 交 DE 于点 G，交 BC 于点 F.求 AG 与 GF 的比． 图 K－11－10 15．如图 K－11－11 所示，在▱ABCD 中，E 是 CD 延长线上的一点，BE 与 AD 交于点 F，DE＝ 1 2CD. (1)求证：△ABF∽△CEB； (2)若△DEF 的面积为 2，求▱ABCD 的面积． 链接听课例3归纳总结4 图 K－11－11 数形 结合如图 K－11－12，有一块三角形余料 ABC，它的边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm.要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上．问加工成的正方形零件的边长 为多少毫米？ 小颖解得此题的答案为 48 mm.小颖善于反思，她又提出了如下的问题： (1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成，如图 K－ 11－13，此时，这个矩形零件的相邻两边长又分别是多少毫米？请你计算． (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图 K－11－14，这样，此矩形零件的相邻两边 长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求矩形面积达到这个最大值时矩形零件的相邻两边 长． 图 K－11－12 图 K－11－13 图 K－11－145 详解详析 [课堂达标] 1．A　2.D 3．[解析] B　∵△ABC 与△DEF 的周长之比为 1∶9，∴△ABC 与△DEF 的相似比为 1∶9， ∴△ABC 与△DEF 对应高的比为 1∶9. 4．[解析] D　已知△ABC∽△DEF，且相似比为 1∶2，A 选项中 BC 与 DF 不是对应边；B 选项中 的∠A 和∠D 是一对对应角，根据“相似三角形的对应角相等”可得∠A＝∠D；根据“相似三角形的 面积比等于相似比的平方”可得△ABC 与△DEF 的面积比是 1∶4；根据“相似三角形的周长比等于 相似比”可得△ABC 与△DEF 的周长比是 1∶2.因此 A，B，C 选项错误，D 选项正确． 5．[解析] C　∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC，∴ AC AB＝ AD AC，∴ 2 AB＝ 1 2， ∴AB＝4，∴ S △ ACD S △ ABC＝( AC AB)2，∴ 1 S △ ABC＝( 2 4)2，∴S△ABC＝4，∴S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝4－1＝3. 6．[解析] C　由题意可得△CAD∽△ABD，∴ S △ ABD S △ CAD＝(AB AC ) 2 ＝ 1 3， ∴ AB AC＝ 1 3. 7．[解析] D　∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，∴BE∶EC＝1∶3，∴BE∶BC＝1∶4. ∵DE∥AC，∴ DE AC＝ BE BC＝ 1 4，△DOE∽△COA，∴S△DOE∶S△AOC＝( DE AC)2＝ 1 16. 8．[解析] B　①由 BC＝DC，∠BCG＝∠DCE，CG＝CE，可证△BCG≌△DCE(SAS)，故①正确． ②延长 BG 交 DE 于点 H，由①可得∠CDE＝∠CBG.∵∠DGH＝∠BGC(对顶角相等)， ∴∠DHG＝∠BCG＝90°，即 BG⊥DE，故②正确． ③由△DGO∽△DCE 可得 DG DC＝ GO CE，故③不正确． ④易知△EFO∽△DGO， S △ EFO S △ DGO等于相似比的平方，即 S △ EFO S △ DGO＝(EF DG ) 2 ＝ b2 （a－b）2， ∴(a－b)2·S△EFO＝b2·S△DGO，故④正确． 9．[答案] 1∶9 [解析] ∵DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，∴ AD AB＝ 1 3，△ADE∽△ABC，∴ S △ ADE S △ ABC＝ 1 9.故答案为 1∶9. 10．[答案] 18 cm 11．[答案] 4 [解析] ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴ EF CF＝ DE BC， S △ DEF S △ BCF＝( DE BC)2. ∵E 是边 AD 的中点， ∴DE＝ 1 2AD＝ 1 2BC， ∴ EF CF＝ DE BC＝ 1 2，∴ EF EC＝ 1 3， ∴S△DEF＝ 1 3S△DEC＝1， S △ DEF S △ BCF＝ 1 4， ∴S△BCF＝4. 12．[答案] 6 [解析] 如图，过点 C 作 CE⊥x 轴，垂足为 E.6 ∵在 Rt△OAB 中，∠OBA＝90°， ∴CE∥AB. ∵C 为 Rt△AOB 的斜边 OA 的中点， ∴CE 为 Rt△AOB 的中位线，且 S△OCD＝S△ACD， ∴△OEC∽△OBA，且 OC OA＝ 1 2. ∵双曲线所对应的函数解析式是 y＝ k x， ∴S△OBD＝S△COE＝ 1 2k，∴S△AOB＝4S△COE＝2k. 由 S△AOB－S△OBD＝S△OAD＝2S△OCD＝18，得 2k－ 1 2k＝18，解得 k＝12， ∴S△OBD＝ 1 2k＝6. 故答案为 6. 13．解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴△ADE∽△ABC∽△EFC， ∴(AE EC ) 2 ＝ S △ ADE S △ EFC＝ 4 9， ∴ AE EC＝ 2 3，则 AE AC＝ 2 5， 故 S △ ADE S △ ABC＝(AE AC ) 2 ＝ 4 25. ∵S△ADE＝4 cm2， ∴S△ABC＝25 cm2. 14．解：∵△ADE∽△ACB， ∴∠ADG＝∠C. ∵AF 是△ABC 的角平分线， ∴∠DAG＝∠FAC， ∴△ADG∽△ACF， ∴ AD AC＝ AG AF. ∵ AD AC＝ 2 3，∴ AG AF＝ 2 3， ∴AG∶GF＝2∶1. 15．[解析] (1)由平行四边形的对角相等，对边平行，证得△ABF∽△CEB；(2)由△DEF∽△ CEB，△DEF∽△ABF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可以求出△ABF 和△BCE 的面积， 从而▱ABCD 的面积可求． 解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB. (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB 綊 CD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.7 ∵DE＝ 1 2CD，∴EC＝3DE， ∴ S △ DEF S △ CEB＝( DE EC)2＝ 1 9， S △ DEF S △ ABF＝( DE AB)2＝ 1 4. ∵S△DEF＝2， ∴S△CEB＝18，S△ABF＝8, ∴S 四边形 BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16， ∴S▱ABCD＝S 四边形 BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24. [素养提升] 解：(1)∵四边形 PNMQ 是矩形， ∴PN∥QM， ∴△APN∽△ABC， ∴ PN BC＝ AE AD. 设 PQ＝ED＝x mm，则 PN＝2x mm，AE＝(80－x)mm， ∴ 2x 120＝ 80－x 80 ， 解得 x＝ 240 7 ，则 2x＝ 480 7 . 这个矩形零件的相邻两边长分别是 240 7 mm 和 480 7 mm. (2)∵四边形 PNMQ 是矩形， ∴PN∥QM， ∴△APN∽△ABC， ∴ PN BC＝ AE AD. 设 PQ＝ED＝x mm，则 AE＝(80－x)mm， ∴ PN 120＝ 80－x 80 ， 即 PN＝ 80－x 80 ·120＝ 3（80－x） 2 ， ∴S 矩形 PNMQ＝PN·PQ＝ 3（80－x） 2 ·x＝－ 3 2x2＋120x＝－ 3 2(x－40)2＋2400， ∴当 x＝40 时，S 矩形 PNMQ 有最大值 2400， 此时 PN＝ 3 × （80－40） 2 ＝60(mm)． ∴矩形面积达到最大值时矩形零件的相邻两边长分别为 40 mm，60 mm.