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课时作业(十二)
[27.2.3 第 1 课时 利用影长测高度或在地面上构造相似三角形测距离]
一、
选择题
1．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆 AC 的高度，在点 F 处竖立一根长为 1.5 米的标杆 DF，如
图 K－12－1 所示，量出 DF 的影子 EF 的长度为 1 米，再量出旗杆 AC 的影子 BC 的长度为 6 米，那么
旗杆 AC 的高度为( )
图 K－12－1
A．6 米 B．7 米 C．8.5 米 D．9 米
2．小刚身高为 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测
得影子长为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶( )
A．0.5 m B．0.55 m
C．0.6 m D．2.2 m
3.如图 K－12－2 所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点 B，C，
D，使得 AB⊥BC，CD⊥BC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上．若测得 BE＝20 m，CE＝
10 m，CD＝20 m，则河的宽度 AB 等于( )
图 K－12－2
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m2
二、填空题
4．如图 K－12－3①，小红家阳台上放置了一个可折叠的晒衣架，如图 K－12－3②是晒衣架的
侧面示意图，经测量知 OC＝OD＝126 cm，OA＝OB＝56 cm，且 AB＝32 cm，则此时 C，D 两点间的距离
是________cm.
图 K－12－3
5．如图 K－12－4，已知零件的外径为 25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长 AC 和 BD 相等，OC＝
OD)测量零件的内孔直径 AB.若 OC∶OA＝1∶2，量得 CD＝10 mm，则零件的厚度 x＝________mm.
图 K－12－4
6．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见
木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图 K－12－5，矩形城池 ABCD，东边城墙 AB 长 9 里，
南边城墙 AD 长 7 里，东门点 E，南门点 F 分别是 AB，AD 的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15 里，HG
经过点 A，则 FH＝________里.链接听课例2归纳总结
图 K－12－5
三、解答题
7．如图 K－12－6，M，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通上的方便，根据国家的惠民政策，
政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算 M，N 两点之间的直线距离，选择测量点
A，B，C，点 B，C 分别在 AM，AN 上，现测得 AM＝1 千米，AN＝1.8 千米，AB＝54 米，BC＝45 米，AC
＝30 米，求 M，N 两点之间的直线距离．
图 K－12－63
8．如图 K－12－7，一条东西走向的笔直公路，点 A，B 表示公路北侧间隔 150 米的两棵树所在
的位置，点 C 表示电视塔所在的位置．小王在公路南侧所在直线 PQ 上行走，当他到达点 P 的位置时，
观察到树 A 恰好挡住电视塔，即点 P，A，C 在一条直线上，当他继续走 180 米到达点 Q 的位置时，
观察到树 B 也恰好挡住电视塔．假设公路两侧 AB∥PQ，且公路的宽为 60 米，求电视塔 C 到公路南
侧所在直线 PQ 的距离.链接听课例2归纳总结
图 K－12－7
9．如图 K－12－8 是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB 表示铁夹的两个面，C 是轴，CD⊥OA
于点 D，已知 DA＝15 mm，DO＝24 mm，DC＝10 mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出 A，
B 两点间的距离．
图 K－12－8
10．如图 K－12－9 所示，小明想测量电线杆 AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡
面 CD 和地面 BC 上，量得 CD＝4 米，BC＝10 米，CD 与地面成 30°的角，且此时测得 1 米高的标杆
的影长为 2 米，求电线杆的高度(精确到 0.1 米)．
链接听课例1归纳总结4
图 K－12－9
转化
思想如图 K－12－10 所示，某学习小组发现 8 m 高的旗杆 DE 的影子 EF 落在了包含一圆弧形小桥在
内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高 1.6 m，同时测得其影长为 2.4
m，EG 的长为 3 m，HF 的长为 1 m，测得拱高(GH︵
的中点到弦 GH 的距离，即 MN 的长)为 2 m，求小桥
所在圆的半径 OG 的长．
图 K－12－105
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D 由题意可知△DEF∽△ABC，
所以
DF
AC＝
EF
BC，
所以
1.5
AC ＝
1
6，
所以 AC＝9 米．
2．[解析] A 设小刚举起的手臂超出头顶 x m，则
1.7
0.85＝
1.7＋x
1.1 ，解得 x＝0.5.故选 A.
3．[解析] B 由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离
AB.
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥CD，
∴△BAE∽△CDE，
∴
AB
CD＝
BE
CE，
∴AB＝
BE·CD
CE .
∵BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，
∴AB＝
20 × 20
10 ＝40(m)．故选 B.
4．[答案] 72
[解析] 如图，连接 CD，由题意可得 AB∥CD，则△OAB∽△OCD，故
OA
OC＝
OB
OD＝
AB
CD，则
56
126＝
32
CD，解
得 CD＝72 (cm)．
5．[答案] 2.5
[解析] 根据题意可知△AOB∽△COD，
所以 CD∶AB＝OC∶OA＝1∶2.
因为 CD＝10 mm，
所以 AB＝20 mm，则 x＝
1
2×(25－20)＝2.5(mm)．
6．[答案] 1.05
[解析] ∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG 经过点 A，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，
∴△GEA∽△AFH，
∴
GE
AF＝
AE
HF.
∵AB＝9 里，AD＝7 里，EG＝15 里，
∴AF＝3.5 里，AE＝4.5 里，
∴
15
3.5＝
4.5
HF ，
∴FH＝1.05(里)．
7．解：连接 MN.6
∵
AC
AM＝
30
1000＝
3
100，
AB
AN＝
54
1800＝
3
100，
∴
AC
AM＝
AB
AN.
又∵∠BAC＝∠NAM，
∴△BAC∽△NAM，
∴
BC
MN＝
AC
AM＝
3
100，
∴
45
MN＝
3
100，
∴MN＝1500 米．
答：M，N 两点之间的直线距离为 1500 米．
8．解：如图所示，过点 C 作 CE⊥PQ 于点 E，交 AB 于点 D.
设 CD 的长为 x，则 CE 的长为 x＋60.
∵AB∥PQ，∴△ABC∽△PQC，
∴
CD
CE＝
AB
PQ，∴
CD
AB＝
CE
PQ，即
x
150＝
x＋60
180 ，
解得 x＝300，∴x＋60＝360.
答：电视塔 C 到公路南侧所在直线 PQ 的距离是 360 米．
9．解：如图，连接 AB，同时连接 OC 并延长交 AB 于点 E，
∵铁夹的侧面是轴对称图形，故 OE 是对称轴，∴OE⊥AB，AE＝BE.
∵∠COD＝∠AOE，∠CDO＝∠AEO＝90°，
∴Rt△OCD∽Rt△OAE，∴
OC
OA＝
CD
AE，
而 OC＝ OD2＋DC2＝ 242＋102＝26，
∴
26
24＋15＝
10
AE，∴AE＝
39 × 10
26 ＝15，
∴AB＝2AE＝30(mm)．
答：A，B 两点间的距离为 30 mm.
10．解：如图所示，过点 D 作 DF⊥BC 交 BC 的延长线于点 F，延长 AD 交 BC 的延长线于点 E.
∵∠DCF＝30°，
∴DF＝
1
2CD＝2 米，CF＝ CD2－DF2＝2 3 米．
根据已知条件，1 米高的标杆的影长为 2 米，可求得 EF＝2DF＝4 米，
∴BE＝(14＋2 3)米．
∵DF⊥BE，AB⊥BE，
∴△DFE∽△ABE，
∴
DF
AB＝
EF
BE，7
∴
2
AB＝
4
BE，
∴AB＝
1
2BE＝7＋ 3≈8.7(米)．
即电线杆的高度约为 8.7 米．
[点评] 注意在计算 EF 时，要运用 1 米高的标杆的影长为 2 米这一条件．
[素养提升]
解：由相似三角形的性质得
DE
EF＝
1.6
2.4，而 DE＝8 m，
∴EF＝12 m.
∵EG＝3 m，HF＝1 m，
∴GH＝EF－EG－HF＝8 m.
由垂径定理，得 MG＝
1
2GH＝4 m.
在 Rt△OMG 中，由勾股定理，得 OM2＋MG2＝OG2，即(ON－2)2＋42＝OG2.
又∵ON＝OG，
∴(OG－2)2＋42＝OG2，解得 OG＝5 (m)．
答：小桥所在圆的半径 OG 的长为 5 m.
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