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第 1 章 二次函数
1.1 二次函数
知|识|目|标
1．结合具体情境分析二次函数表达式的特点，理解二次函数的有关概念，并且能够判别二次
函数．
2．通过对实际问题进行分析，能准确地用二次函数表达式表示实际问题中的函数关系．
目标一 能识别二次函数
例 1 教材补充例题下列函数中，属于二次函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝(x－1)2－x2
C．y＝2x2－7 D．y＝－
1
x2
【归纳总结】判定二次函数的三个关键点：
(1)函数表达式是整式；
(2)自变量的最高次数是 2；
(3)二次项系数不等于 0.
目标二 会根据实际问题列二次函数表达式
例 2 教材例题针对训练如图 1－1－1 所示，长方形 ABCD 的长为 5 cm，宽为 4 cm，如果将它
的长和宽都截去 x cm，那么剩下的小长方形 AB′C′D′的面积为 y cm2.
(1)写出 y 与 x 之间的函数表达式；
(2)上述函数是二次函数吗？
(3)求自变量 x 的取值范围．
图 1－1－12
【归纳总结】列二次函数表达式的步骤：
(1)审清题意，找到实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，分析数量之间的关系，找出
等量关系；
(2)根据实际问题中的等量关系，列出二次函数表达式，并化成一般形式；
(3)根据问题的实际意义及所列函数表达式，确定自变量的取值范围．
知识点一 二次函数的概念
定义：如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一
般形式是 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)．其中 a 是____________，b 是
____________，c 是________．
[点拨] 确定二次函数表达式的各项系数时，必须先将函数表达式化为一般形式，且系数都包
括它前面的符号．
知识点二 建立二次函数模型
建立二次函数模型的步骤：①审清题意，找出实际问题中的已知量和未知量，将文字、图形
语言转化为数学符号语言；②找出等量关系；③设出表示变量的字母，用含字母的代数式替
换找出的等量关系，并将表达式写成用自变量表示因变量的形式；④计算并确定自变量的取
值范围．
[点拨] 从实际问题中建立函数模型时，自变量的取值要满足两个条件：
(1)使函数表达式有意义；
(2)使实际问题有意义．
已知关于 x 的函数 y＝kxk2－3k＋2＋(k－3)x＋1 是二次函数，求 k 的值．
解：令等号右边第一项 x 的指数为 2，
即 k2－3k＋2＝2，
化简，得 k2－3k＝0，
解得 k1＝0，k2＝3，
所以 k 的值为 0 或 3.
以上解答过程不完整，请你进行补充．34
教师详解详析
【目标突破】
例 1 C
例 2 [解析] 列二次函数表达式的关键是确定题目中 y 与 x 之间的等量关系．
解：(1)根据长方形的面积公式，可得
y＝(5－x)(4－x)＝x2－9x＋20，所以 y 与 x 之间的函数表达式为 y＝x2－9x＋20.
(2)上述函数是二次函数．
(3)自变量 x 的取值范围是 0
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