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1.3 不共线三点确定二次函数的
表达式
知|识|目|标
1．通过回顾用待定系数法求一次函数的表达式，能根据不共线的三点确定二次函数的表达
式．
2．审清题意，能根据题意选择适当的方法求二次函数表达式．
目标一 利用待定系数法求过三点的二次函数的表达式
例 1 教材例 1 针对训练已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个
二次函数的表达式，并写出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【归纳总结】待定系数法求二次函数表达式的步骤：
(1)设：根据条件设函数表达式；
(2)列：把已知点的坐标代入表达式，得到方程或方程组；
(3)解：解方程或方程组；
(4)答：写出函数表达式．
目标二 能选择合适的方法求二次函数表达式
例 2 高频考题已知某抛物线的顶点坐标为(－2，1)，且与 y 轴交于点(0，4)，则这条抛物线
所表示的二次函数的表达式是________．
例 3 教材例 2 针对训练已知一条抛物线经过 E(0，10)，F(2，2)，G(4，2)，H(3，1)四点，
选择其中两点，能用待定系数法求出抛物线的函数表达式的为( )
A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G
【归纳总结】二次函数表达式的类型及适用情况：2
表达式
类型 表达式 适用情况
一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 已知图象上任意三个点的
坐标
y＝ax2(a≠0) 已知图象的顶点坐标为(0，0)，
又知另一个点的坐标
y＝ax2＋k(a≠0) 已知图象的顶点坐标为(0，k)，
又知另一个点的坐标
y＝a(x－h)2(a≠0) 已知图象的顶点坐标为(h，0)，
又知另一个点的坐标
顶点式
y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 已知图象的顶点坐标为(h，k)，
又知另一个点的坐标
(续表)
表达式
类型 表达式 适用情况
交点式 y＝a(x－x1)(x－x2) 已知图象与 x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，
又知另一个点的坐标
知识点 用待定系数法求二次函数的表达式
在利用待定系数法求二次函数的表达式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出表
达式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，列三元一次方
程组求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式求解；当已知抛物线与 x
轴的两个交点时，可设其表达式为交点式求解．
1．思考：能否找到过点(－1，0)，(0，1)，(1，2)的抛物线？为什么？
2．已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与 y 轴的交点坐标为(0，－5)，求抛物线的函数表
达式．
解：∵抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，
∴设函数表达式为 y＝a(x－1)2－3，
将(0，－5)代入，得 a－3＝－5，
解得 a＝－2，3
则抛物线的函数表达式为 y＝－2(x－1)2－3＝－2x2＋4x－5.
即抛物线的函数表达式为 y＝－2x2＋4x－5.
上述解答过程是否正确？若不正确，应该如何改正？4
教师详解详析
【目标突破】
例 1 [解析] 设二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c，把已知三点代入得关于 a，b，c 的三
元一次方程组，求出 a，b，c 的值，再运用配方法或顶点坐标公式求其图象的对称轴和顶点
坐标．
解：设二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c.
将(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)分别代入，
得{a－b＋c＝－6，
a＋b＋c＝－2，
4a＋2b＋c＝3，
解得{a＝1，
b＝2，
c＝－5.
∴二次函数的表达式为 y＝x2＋2x－5.
∵y＝x2＋2x－5＝x2＋2x＋1－1－5＝(x＋1)2－6，
∴它的图象的开口向上，对称轴为直线 x＝－1，顶点坐标为(－1，－6)．
例 2 [答案] y＝
3
4(x＋2)2＋1
[解析] 设抛物线的函数表达式为 y＝a(x＋2)2＋1，把(0，4)代入，得 4＝4a＋1，即 a＝
3
4，
则抛物线的函数表达式为 y＝
3
4(x＋2)2＋1，故答案为 y＝
3
4(x＋2)2＋1.
例 3 C
【总结反思】
[反思]
1．不能. 理由：假设过这三点的抛物线的函数表达式为 y＝ax2＋bx＋c.
根据抛物线过点(－1，0)，(0，1)，(1，2)，
得{a－b＋c＝0，
c＝1，
a＋b＋c＝2，
解得{a＝0，
b＝1，
c＝1.
因为 a＝0，所以得到的函数为一次函数，所以不存在过这三点的抛物线．
2．解答过程有错误．改正：∵抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，
∴设函数表达式为 y＝a(x＋1)2－3，将(0，－5)代入，得 a－3＝－5，
解得 a＝－2，则抛物线的函数表达式为 y＝－2(x＋1)2－3＝－2x2－4x－5.
即抛物线的函数表达式为 y＝－2x2－4x－5.
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