1
专题训练(一) 二次函数与几何
小综合
一、二次函数与三角形的结合
1．如图 1－ZT－1，已知抛物线 y＝
3
8x2－
3
4x－3 与 x 轴的交点为 A，D(点 A 在点 D 的右侧)，
与 y 轴的交点为 C.
(1)直接写出 A，D，C 三点的坐标；
(2)若点 M(点 M 不与点 C 重合)在抛物线上，使得△MAD 的面积与△CAD 的面积相等，求点
M 的坐标．
图 1－ZT－1
2．如图 1－ZT－2 所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过点(－1，8)并与 x
轴交于 A，B 两点，且点 B 的坐标为(3，0)．2
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 P，求△CPB 的面积．
图 1－ZT－2
3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数 y＝－x2＋(k－1)x＋4 的图象与 y 轴交于
点 A，与 x 轴的负半轴交于点 B，且 S△OAB＝6.
(1)求点 A 与点 B 的坐标；
(2)求此二次函数的表达式；
(3)如果点 P 在 x 轴上，且△ABP 是等腰三角形，求点 P 的坐标．
二、二次函数与平行四边形的结合
4．如图 1－ ZT－3，四边形 ABCD 是平行四边形，过点 A，C，D 作抛物线 y＝ax 2＋bx＋
c(a≠0)，且点 A，B，D 的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)．求抛物线的函数表达
式．
图 1－ZT－33
三、二次函数与矩形、菱形、正方形的结合
5．如图 1－ZT－4 所示，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，顶点 A，C 分别在 x
轴，y 轴的正半轴上，抛物线 y＝－
1
2x2＋bx＋c 经过 B，C 两点，D 为抛物线的顶点，连接
AC，BD，CD.
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)求此抛物线的顶点 D 的坐标和四边形 ABDC 的面积．
图 1－ZT－4
6．2018·金华如图 1－ZT－5，抛物线 y＝ax2＋bx(a＜0)过点 E(10，0)，矩形 ABCD 的 AB 边
在线段 OE 上(点 A 在点 B 的左边)，点 C，D 在抛物线上．设 A(t，0)，当 t＝2 时，AD＝
4.
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持 t＝2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有 G，
H 两个交点，且直线 GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
图 1－ZT－5
四、二次函数与平移的结合
7．如图 1－ZT－6①，在平面直角坐标系中有等腰直角三角形 ABO，AB＝OB＝8，∠ABO＝90
°，OC 与 y 轴正半轴所夹的角为 45°，射线 OC 以每秒 2 个单位的速度向右平行移动，当
射线 OC 经过点 B 时停止运动．设平行移动 x 秒后，射线 OC 扫过 Rt△ABO 的面积为 y.
(1)求 y 与 x 之间的函数表达式．
(2)当 x＝3 时，射线 OC 平行移动到 O′C′，与 OA 相交于点 G，如图 1－ZT－6②所示，4
求经过 G，O，B 三点的抛物线的函数表达式．
(3)现有一动点 P 在(2)中的抛物线上，试问点 P 在运动过程中，是否存在△POB 的面积 S＝
8 的情况？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
图 1－ZT－65
教师详解详析
1．解：(1)A(4，0)，D(－2，0)，C(0，－3)．
(2)∵S△CAD＝
1
2AD·OC，S△MAD＝
1
2AD·|yM|，
∴当 S△CAD＝S△MAD 时，
1
2AD·OC＝
1
2AD·|yM|，
即
1
2×6×3＝
1
2×6×|yM|，
解得 yM＝±3，即
3
8x2－
3
4x－3＝±3，
解得 x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)，x3＝1＋ 17，x4＝1－ 17，
∴点 M 的坐标为(2，－3)或(1＋ 17，3)或(1－ 17，3)．
2．解：(1)∵抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过点(－1，8)与点 B(3，0)，∴{1－b＋c＝8，
9＋3b＋c＝0， 解得
{b＝－4，
c＝3， ∴抛物线的函数表达式为 y＝x2－4x＋3.
(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴P(2，－1)．过点 P 作 PH⊥y 轴于点 H，过点 B 作 BM∥y
轴交直线 PH 于点 M，过点 C 作 CN⊥y 轴交直线 BM 于点 N，如图所示．
S△CPB＝S 矩形 CHMN－S△CHP－S△PMB－S△CNB＝3×4－
1
2×2×4－
1
2×1×1－
1
2×3×3＝3，即△CPB 的
面积为 3.
3．解：(1)由表达式，可知点 A 的坐标为(0，4)．
∵S△OAB＝
1
2OB·OA＝
1
2×4·OB＝6，
∴OB＝3.∴点 B 的坐标为(－3，0)．
(2)把 B(－3，0)代入 y＝－x2＋(k－1)x＋4，得－(－3)2＋(k－1)×(－3)＋4＝0.
解得 k－1＝－
5
3.
∴所求二次函数的表达式为 y＝－x2－
5
3x＋4.
(3)∵△ABP 是等腰三角形，∴有三种情况：
①当 AB＝AP 时，点 P 的坐标为(3，0)；
②当 AB＝BP 时，点 P 的坐标为(2，0)或(－8，0)；
③当 AP＝BP 时，设点 P 的坐标为(x，0)．根据题意，得 x2＋42＝|x＋3 |，6
解得 x＝
7
6，∴点 P 的坐标为(
7
6，0)．
综上所述，点 P 的坐标为(3，0)，(2，0)，(－8，0)或(
7
6，0)．
4．解：由已知，得点 C(5，4)．
把 A(－2，0)，D(0，4)，C(5，4)代入抛物线的函数表达式 y＝ax2＋bx＋c，
得{0＝4a－2b＋c，
4＝c，
4＝25a＋5b＋c，
解得{a＝－
2
7，
b＝
10
7 ，
c＝4.
所以抛物线的函数表达式为 y＝－
2
7x2＋
10
7 x＋4.
5．解：(1)由已知，得 C(0，4)，B(4，4)，把点 B 与点 C 的坐标代入 y＝－
1
2x2＋bx＋c，得
{4b＋c＝12，
c＝4，
解得{b＝2，
c＝4，
∴抛物线的函数表达式为 y＝－
1
2x2＋2x＋4.
(2)∵y＝－
1
2x2＋2x＋4＝－
1
2(x－2)2＋6，
∴抛物线的顶点 D 的坐标为(2，6)，则S 四边形 ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝
1
2×4×4＋
1
2×4×2＝8＋4＝
12.
6．解：(1)设抛物线的函数表达式为 y＝ax(x－10)．
∵当 t＝2 时，AD＝4，
∴点 D 的坐标是(2，4)．
∴4＝a×2×(2－10)，解得 a＝－
1
4.
∴抛物线的函数表达式为 y＝－
1
4x2＋
5
2x.
(2)由抛物线的对称性，得 BE＝OA＝t，
∴AB＝10－2t.当 x＝t 时，y＝－
1
4t2＋
5
2t.
∴矩形 ABCD 的周长＝2(AB＋AD)＝2[(10－2t)＋(－
1
4t2＋
5
2t)]＝－
1
2t2＋t＋20＝－
1
2(t－1)2
＋
41
2 .
∵－
1
2＜0，
∴当 t＝1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值是
41
2 .7
(3)当 t＝2 时，点 A，B，C，D 的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)．
∴矩形 ABCD 的对角线交于点 P(5，2)．当平移后的抛物线过点 A 时，点 H 的坐标为(4，4)，
此时 GH 不能将矩形的面积平分；当平移后的抛物线过点 C 时，点 G 的坐标为(6，0)，此时 GH
也不能将矩形的面积平分．∴当 G，H 中有一点落在线段 AD 或 BC 上时，直线 GH 不能将矩形
的面积平分．∴当点 G，H 分别落在线段 AB，DC 上，且直线 GH 过点 P 时，能平分矩形 ABCD
的面积．∵AB∥CD，∴线段 OD 平移后得到线段 GH.∴线段 OD 的中点 Q 平移后的对应点是 P.
在△OBD 中，PQ 是中位线，∴PQ＝
1
2OB＝4.∴抛物线向右平移的距离是 4 个单位．
7．解：(1)由题意，可知射线 OC 扫过 Rt△ABO 的部分为等腰直角三角形，斜边长为 2x，
则斜边上的高为
1
2×2x＝x，
∴y＝
1
2×2x×x＝x2(0≤x≤4)．
(2)过点 G 作 GD⊥OB，垂足为 D，则在等腰直角三角形 OO′G 中，GD 也是斜边 OO′上的中
线．
∵OO′＝3×2＝6，
∴GD＝OD＝
1
2OO′＝3，
∴点 O′，G 的坐标分别为(6，0)，(3，3)．
由抛物线经过点 O(0，0)，B(8，0)，可设其表达式为 y＝ax(x－8)．
把 G(3，3)代入表达式，得 a×3×(3－8)＝3，
解得 a＝－
1
5.
∴抛物线的函数表达式为 y＝－
1
5x(x－8)，
即 y＝－
1
5x2＋
8
5x.
(3)存在．设符合条件的点 P 的坐标为(x，y)，则 S＝
1
2×8·|y |＝8，
解得 y＝±2.
当 y＝2 时，由－
1
5x2＋
8
5x＝2，
解得 x＝4± 6；
当 y＝－2 时，由－
1
5x2＋
8
5x＝－2，8
解得 x＝4± 26.
∴符合条件的点 P 的坐标为(4＋ 6，2)或(4－ 6，2)或(4＋ 26，－2)或(4－ 26，－
2)．
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