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1.2 二次函数的图象与性质
第 1 课时 二次函数 y＝ax2(a>0)的图象与性质
知|识|目|标
1．在回顾用描点法画一次函数的图象的基础上，理解用描点法画二次函数 y＝ax2(a＞0)的
图象的方法．
2．通过观察所画的二次函数 y＝ax2(a＞0)的图象，理解二次函数 y＝ax2(a＞0)的性质．
目标一 能用描点法画二次函数 y＝ax2(a＞0)的图象
例 1 教材补充例题在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y＝x2，y＝
1
2x2，y＝2x2 的图象，
并比较这三个图象的异同点．
【归纳总结】画二次函数 y＝ax2(a＞0)的图象的步骤：
(1)列表：让 x 取 0 和一些互为相反数的数，并计算出相应的函数值 y，列出表格；
(2)描点：在平面直角坐标系内以自变量 x 的值作为点的横坐标，对应的函数值 y 作为点的纵
坐标描点；
(3)连线：用一条光滑的曲线，按照自变量 x 从小到大的顺序连接各点．
目标二 理解二次函数 y＝ax2(a＞0)的图象与性质
例 2教材补充例题已知函数 y＝kxk2－k 是关于 x 的二次函数，且其图象在对称轴左侧的部分，
y 随 x 的增大而减小．
(1)求这个二次函数的表达式以及其图象的对称轴；
(2)求当 x＝1 时的函数值．
【归纳总结】二次函数 y＝ax2(a＞0)的图象与性质：
(1)二次函数 y＝ax2(a＞0)的图象以 y 轴为界限，“左降”“右升”．2
(2)在 y 轴左侧(即 x＜0 时)，图象呈下降趋势，自变量 x 越大，函数值 y 反而越小；在 y 轴
右侧(即 x＞0 时)，图象呈上升趋势，自变量 x 越大，函数值 y 也越大．
反过来，根据二次函数 y＝ax2 的图象“左降”“右升”这一特征，我们也可以判定 a＞0.
知识点一 画二次函数 y＝ax2(a>0)的图象
(1)画二次函数的图象可类比画一次函数、反比例函数图象时的三个步骤：______、______、
______．
(2)由于自变量 x 的取值范围是__________，所以列表时可让 x 取 0 和一些互为相反数的数，
并算出相应的函数值．
(3)二次函数 y＝ax2(a>0)的图象是一条曲线，画图时用一条______的曲线依次连接所描各点．
知识点二 二次函数 y＝ax2(a>0)的图象与性质
(1)函数图象的开口向____，并有最____点．
(2)对称轴为______．
(3)在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而______；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而______，简
称为“左降右升”．
(4)当 x＝0 时，函数值最小，最小值为____．
一个等腰直角三角形的斜边长为 2x cm，其面积为 y cm2.
(1)求 y 与 x 之间的函数表达式，并写出 x 的取值范围；
(2)画出 y 关于 x 的函数图象．
解：(1)∵这个等腰直角三角形的斜边长为 2x cm，面积为 y cm2，
图 1－2－1
∴其直角边长为 sin45°·2x＝ 2x(cm)，
故 y＝
1
2× 2x× 2x＝x2(x＞0)．
(2)如图 1－2－1 所示．
上述解答过程是否正确？若不正确，请说明理由，并改正．34
教师详解详析
【目标突破】
例 1 [解析] 运用描点法，按列表、描点和连线这三个步骤画出图象．
解：(1)列表如下：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝x2 … 4 1 0 1 4 …
y＝
1
2x2 … 2 1
2 0 1
2 2 …
y＝2x2 … 8 2 0 2 8 …
(2)在同一平面直角坐标系中画出函数的大致图象如下：
图象的相同点：①对称轴相同，都为 y 轴；
②开口方向相同，它们的开口方向都向上等．
图象的不同点：开口大小不同．
例 2 [解析]由 y＝kxk2－k 是关于 x 的二次函数，可得 k2－k＝2，由其图象在对称轴左侧的
部分，y 随 x 的增大而减小，可得 k＞0，所以 k 值可定．
解：(1)因为函数 y＝kxk2－k 是关于 x 的二次函数，且其图象在对称轴左侧的部分，y 随 x
的增大而减小，
所以{k > 0，
k2－k＝2，解得 k＝2,
所以这个二次函数的表达式为 y＝2x2，其图象的对称轴为 y 轴．
(2)当 x＝1 时，函数值 y＝2×12＝2.
【总结反思】
[小结] 知识点一 (1)列表 描点 连线
(2)全体实数 (3)光滑
知识点二 (1)上 低
(2)y 轴 (3)减小 增大 (4)0
[反思] (2)不正确．在实际问题中，要考虑自变量的取值范围．本题中 x＞0，图象如下：
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