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1.2 二次函数的图象与性质
第 4 课时 二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质
知|识|目|标
1．通过回顾图象的平移，理解抛物线 y＝ax2 平移到抛物线 y＝a(x－h)2 和抛物线 y＝a(x－
h)2＋k 的过程．
2．运用描点法画二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象，并通过观察二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的
图象归纳其性质．
3．在回顾用待定系数法求一次函数的表达式的基础上，能根据抛物线 y＝a(x－h)2＋k 的顶
点坐标求二次函数的表达式.
目标一 理解二次函数 y＝ax2 与 y＝a(x－h)2＋k 的图象之间的关系
例 1 教材补充例题已知二次函数 y＝－2x2，y＝－2(x－2)2，y＝－2(x－2)2＋2，请回答下列
问题：
(1)通过怎样的平移，可以由抛物线 y＝－2x2 得到抛物线 y＝－2(x－2)2 和 y＝－2(x－2)2＋
2?
(2)如果要得到抛物线 y＝－2(x－2017)2－2018，应将抛物线 y＝－2x2 怎样平移？这样的平
移方法唯一吗？
【归纳总结】抛物线 y＝ax2 与 y＝a(x－h)2＋k 之间的平移：
(1)抛物线的平移规律可以总结为“左加右减自变量，上加下减常数项”，即抛物线y＝ax2 向
左平移时，在自变量 x 中加上平移的单位数 h，向右平移时，在自变量 x 中减去平移的单位2
数 h; 向上平移时，在常数项中加上平移的单位数 k，向下平移时，在常数项中减去平移的单
位数 k.
(2) 抛物线 y＝ax2 与 y＝a(x－h)2＋k 之间的平移方法不是唯一的，既可以先左右平移，也
可以先上下平移．
(3) 由抛物线 y＝a(x－h)2＋k 平移得到抛物线 y＝ax2 与由抛物线 y＝ax2 平移得到抛物线 y
＝a(x－h)2＋k 的方法恰好相反．
(4)由于抛物线平移后的形状不变，故二次项系数 a 不变，所以求平移后的抛物线的函数表达
式通常有两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出函数
表达式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出函数表达式．
目标二 理解二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质
例 2 教材例 4 针对训练已知二次函数 y＝(x－2)2－4.
(1)在图 1－2－2 给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(2)求出图象的顶点坐标、对称轴与最值；
(3)当 x 满足什么条件时，函数值 y 随自变量的增大而增大？ 当 x 满足什么条件时，函数值 y
随自变量的增大而减小？
(4)根据图象，写出当 y＜0 时 x 的取值范围．
图 1－2－2
【归纳总结】二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质：
(1)在二次函数 y＝a(x－h)2＋k 中，a 决定了图象的开口方向与开口大小，h 决定了图象的对
称轴，h，k 决定了图象的顶点的位置．
(2)从二次函数的表达式 y＝a(x－h)2＋k 中，可以直接看出抛物线的顶点坐标(h，k)，对称
轴，即直线 x＝h，因此通常把表达式 y＝a(x－h)2＋k 叫作二次函数的顶点式．
(3)二次函数 y＝a(x－h)2＋k 与 y＝a(x－h)2 的增减性相同．
(4)求函数值 y＜0 时自变量 x 的取值范围的方法：①求出 y＝0 时 x 的值(即确定抛物线与 x
轴的交点坐标)；②找出 x 轴下方的图象对应的自变量 x 的取值范围．
目标三 能根据抛物线的顶点坐标求二次函数表达式 y＝a(x－h)2＋k
例 3 教材例 5 针对训练已知二次函数图象的顶点为 A(－1，4)，且过点 B(2，－5)．
(1)求该函数的表达式；
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
(3)将该函数图象向右平移，当图象经过坐标原点时，A，B 两点随图象移至点 A′，B′，求
△OA′B′的面积．3
【归纳总结】根据抛物线的顶点坐标求函数表达式的方法：
(1)设二次函数的表达式为 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
(2)将抛物线的顶点坐标与另一点的坐标或一组 x，y 的对应值代入，计算出 a 的值；
(3)将所求的 a 值代入顶点式 y＝a(x－h)2＋k 中，得到二次函数表达式．
知识点一 画二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象的步骤
由于我们已经知道了二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象的性质，因此画二次函数 y＝a(x－h)2
＋k 的图象的步骤如下：
第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；
第二步：列表(自变量 x 从顶点的横坐标开始取值)、描点和连线，画出图象在对称轴右边的
部分；
第三步：利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(这只要先把对称轴左边的对称点描出来，
然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点)．
知识点二 二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质
a 的
取值
图象的
开口方向
图象的
对称轴
图象的
顶点坐标
函数值的
变化情况
a>0 向____ ________ ________
在对称轴左侧，y 随 x 的增大
而______；在对称轴右侧，y
随 x 的增大而______
y＝a(x－
h)2＋k
a
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