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1.5 二次函数的应用
知|识|目|标
1．通过回顾建立方程模型解决实际问题的基本方法，在探究“动脑筋”的基础上，理解通过
建立二次函数模型解决实际问题的方法．
2．根据几何图形及其性质建立二次函数关系，并能解决有关面积的问题．
3．能够利用二次函数的最大(小)值解决实际问题中的最值问题．
目标一 理解建立二次函数模型解决实际问题的方法
例 1 教材“动脑筋”改编有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为 20 m，拱顶距离水
面 4 m.
(1)在如图 1－5－1 所示的平面直角坐标系中，求出该抛物线的函数表达式；
(2)在正常水位的基础上，当水位上升 h m 时，桥下水面的宽为 d m，求 d 关于 h 的函数表达
式；
(3)设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18
m，求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
图 1－5－1
【归纳总结】利用二次函数解决拱桥类问题的“五步骤”：
(1)恰当地建立平面直角坐标系；2
(2)将已知条件转化为点的坐标；
(3)合理地设出所求函数表达式；
(4)代入已知条件或点的坐标求出函数表达式；
(5)利用函数表达式解决问题．
目标二 能利用二次函数解决几何图形的面积问题
例 2 高频考题如图 1－5－2，把一张长 15 cm、宽 12 cm 的矩形硬纸板的四个角各剪去一个同
样大小的小正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．设剪去的小正方
形的边长为 x cm.
(1)请用含 x 的代数式表示长方体盒子的底面积．
(2)当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积是 130 cm2?
(3)试判断折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值，若有，请求出最大值和此时剪去的小正
方形的边长；若没有，请说明理由．
图 1－5－2
【归纳总结】应用二次函数解决面积最大(小)值问题的步骤：
(1)分析题中的变量与常量；
(2)根据几何图形的面积公式建立函数模型；
(3)结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量的取值范围，求出面积的最大(小)值．
目标三 能利用二次函数最大(小)值解决实际问题中的最值问题
例 3 教材例题针对训练 2017·济宁某商店销售一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个
30 元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量 y(单位：个)与销售单价 x(单位：元/个)
有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为 w 元．
(1)求 w 与 x 之间的函数表达式．
(2)这种双肩包的销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 48 元/个，若该商店销售这种双肩包每天
要获得 200 元的销售利润，则销售单价应定为多少？3
【归纳总结】利用二次函数求最值的“三注意”：
(1)要把实际问题正确地转化为二次函数问题；
(2)列函数表达式时要注意自变量的取值范围；
(3)若图象不包括抛物线的顶点，则应根据函数的增减性来确定最值．
知识点一 利用二次函数求抛物线形实物模型问题
将二次函数应用于抛物线形实物相当常见，如抛物线形的桥梁、隧道、涵洞等．解决问题的
关键是根据实际情况建立平面直角坐标系，并把关键的尺寸转化成点的坐标，再根据具体情
况应用二次函数的知识解决相关问题．
知识点二 利用二次函数求图形面积的最值问题
利用平面几何图形的有关条件和性质建立关于几何图形面积的二次函数表达式，并利用二次
函数的图象和性质确定最大或最小面积．其中求几何图形面积的常见方法有：利用几何图形
的面积公式求几何图形的面积；利用几何图形面积的和或差求几何图形的面积；利用相似比
求几何图形的面积等．
解决面积最值问题的一般步骤：
(1)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出表达式；
(2)把表达式转化为二次函数的表达式；
(3)求二次函数的最大值或最小值．
知识点三 利用二次函数求销售中的最值问题
求销售中的最值问题的实质就是求二次函数的最大值或最小值．此类问题一般是先运用有关
利润的公式，建立利润与价格之间的函数表达式，再根据函数的图象和性质求出这个函数的
最大值，即得最大利润．
(1)有关利润的常见公式：
①销售额＝销售单价×销售量；
②每件利润＝销售单价－成本单价；
③利润＝销售额－总成本＝每件利润×销售量．
(2)解销售中的最值问题的步骤：
①利用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出表达式；
②把表达式转化为二次函数的表达式；
③求二次函数的最大值或最小值．
某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克 30 元．物价部门规定其销售4
单价不高于每千克 60 元，不低于每千克 30 元．当销售单价为 x 元/千克时，日销售量为(－2x
＋200)千克．在销售过程中，每天还要支付其他费用 450 元．当销售单价为多少元/千克时，
该公司日获利 W(元)最大？最大日获利是多少元？
解：W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6450＝－2(x－65)2＋2000.
∴当 x＝65 时，W 最大，W 最大值＝2000.
即当销售单价为 65 元/千克时，该公司日获利最大，最大日获利是 2000 元．
找出以上解答过程中的错误，并改正．5
教师详解详析
【目标突破】
例 1 [解析] 由图，可知拱桥的最高点为坐标原点，易求出抛物线的函数表达式及相应的 d
关于 h 的函数表达式等．
解： (1)设抛物线的函数表达式为 y＝ax2.
由题意，知点 B 的坐标为(10，－4)，
∴－4＝a×102，∴a＝－
1
25，
∴该抛物线的函数表达式为 y＝－
1
25x2.
(2)由题意，知点 D 的纵坐标为－(4－h)．
设点 D 的横坐标为 x(x>0)，则有
－(4－h)＝－
1
25x2，∴x＝5 4－h，
∴d＝2x＝10 4－h.
(3)当桥下水面宽为 18 m 时，得 18＝10 4－h，
∴h＝4－
81
25＝0.76，
2＋0.76＝2.76(m)，
即水深超过 2.76 m 时，就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
例 2 解：(1)(15－2x)(12－2x)cm2.
(2)依题意，得(15－2x)(12－2x)＝130，即 2x2－27x＋25＝0，解得 x1＝1，x2＝
25
2 (不合题意，
舍去)，∴当剪去的小正方形的边长为 1 cm 时，其底面积是 130 cm2.
(3)设长方体盒子的侧面积是 S，则 S＝2[(15－2x)x＋(12－2x)x]，即 S＝54x－8x2，
∴S＝－8(x－
27
8 ) 2
＋
729
8 (0＜x＜6)．
∵－8＜0，
∴当 x＝
27
8 时，S 最大值＝
729
8 ，即当剪去的小正方形的边长为
27
8 cm 时，长方体盒子的侧面积有
最大值
729
8 cm2.
例 3 解：(1)w＝(x－30)·y＝(－x＋60)(x－30)＝－x2＋30x＋60x－1800＝－x2＋90x－
1800，即 w 与 x 之间的函数表达式为 w＝－x2＋90x－1800(30≤x≤60)．
(2)根据题意，得 w＝－x2＋90x－1800＝－(x－45)2＋225(30≤x≤60)，
∵－1＜0，∴当 x＝45 时，w 有最大值，最大值是 225.
答：这种双肩包的销售单价定为 45 元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是 225 元．
(3)当 w＝200 时，－x2＋90x－1800＝200，解得 x1＝40，x2＝50.
∵50＞48，
∴x2＝50 不符合题意，舍去．
答：若该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元的销售利润，则销售单价应定为 40 元/个．
【总结反思】
[反思] 错误之处：∵30≤x≤60，6
∴顶点的横坐标 65 不在自变量的取值范围内，∴最大值不是顶点的纵坐标．
改正：由函数的增减性，可知当 x＝60 时，W 有最大值，
W 最大值＝－2×(60－65)2＋2000＝1950.
即当销售单价为 60 元/千克时，该公司日获利最大，最大日获利是 1950 元．
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