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1.2 二次函数的图象与性质
第 5 课时 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与性质
知|识|目|标
1．通过回顾利用配方法解一元二次方程，会用配方法将二次函数的一般形式转化为顶点
式．
2．回顾用描点法画二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的过程，理解二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的
性质．
3．通过观察二次函数图象，理解求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的最大(小)值的方法．
目标一 会用配方法将二次函数 y＝ax2＋bx＋c 化为顶点式
例 1 教材补充例题将二次函数 y＝x2－4x＋3 化为 y＝(x－h)2＋k 的形式，下列结果正确的是
( )
A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1
C．y＝(x－2)2－1 D．y＝(x－2)2＋1
【归纳总结】将二次函数一般式化为顶点式的两种方法：
(1)把二次函数的一般式化为顶点式有两种方法：
一是配方法，二是公式法．
理解两点：①把二次函数中的配方法与用配方法解一元二次方程联系起来学习，注意其中的
联系与区别；②应用公式法求顶点式的关键是计算得出二次函数图象的顶点坐标
(－
b
2a，
4ac－b2
4a )，要熟记公式并把相关系数准确代入进行计算．
(2)用配方法求顶点式的步骤：①提出二次项系数(包括前面的符号)；②加上并减去一次项系
数的一半的平方；③整理为顶点式．
目标二 理解二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与性质
例 2 教材“动脑筋”变式已知二次函数 y＝－x2＋2x＋3.
(1)在图 1－2－4 中画出这个函数的图象．
(2)根据图象，直接写出：
①当函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围；
②当－2＜x＜2 时，函数值 y 的取值范围．2
图 1－2－4
【归纳总结】二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与性质：
(1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与二次函数 y＝ax2 的图象的形状、开口方向完全相同，
只有位置不同．
(2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的画法：
①“化” ：化成顶点式；
②“定”：确定开口方向、对称轴和顶点坐标；
③“画”：列表、描点、连线．
(3)确定二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的顶点坐标与对称轴可以通过配方法或公式法实现，
顶点坐标为(－
b
2a，
4ac－b2
4a )，对称轴为直线 x＝－
b
2a.
(4)讨论二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的增减性时，必须先确定抛物线的对称轴，按照抛物线在对
称轴左侧与右侧两部分进行分类讨论．
目标三 会求二次函数的最值
例 3教材例 6 针对训练用配方法求二次函数 y＝(k－1)x2－2(k－1)x－k 的最值，其中 k 为常
数且 k≠1.
【归纳总结】确定二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的最值的方法：
(1)确定一个二次函数的最值，首先要看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值
为抛物线顶点的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出图象顶点和端点处的函数值，
比较这些函数值，从而获得最值．
(2)当 a＞0 时，抛物线开口向上，图象有最低点(－
b
2a，
4ac－b2
4a )，函数 y 有最小值
4ac－b2
4a ；
当 a＜0 时，抛物线开口向下，图象有最高点(－
b
2a，
4ac－b2
4a )，函数 y 有最大值
4ac－b2
4a .
知识点一 用配方法把二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式3
用配方法把二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式的步骤如下：
(1)提取公因式 a，得 y＝a(x2＋
b
ax＋
c
a)；
(2)配方，得 y＝a[x2＋
b
ax＋(
b
2a)2－(
b
2a)2＋
c
a]；
(3)将第(2)步的结果写成 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，得 y＝a(x＋
b
2a) 2
＋
4ac－b2
4a .
知识点二 画二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象
步骤：(1)将 y＝ax2＋bx＋c 配方成 y＝a(x＋________)2＋________的形式；
(2)确定顶点(________，
4ac－b2
4a )与对称轴直线 x＝________；
(3)取对称轴右边(x>－
b
2a)的三个自变量 x 的值，算出对应的 y 值，利用点的坐标，画出抛物
线 y＝ax2＋bx＋c 对称轴右边的图象；
(4)利用对称性，根据对称轴右边的图象画出对称轴左边的图象．
知识点三 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的性质
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
a 的取值 a>0 a
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